Kvadrat tenglamalarni echish - Maslahatlar

Video: Hohlagan kvadrat tenglamani tez va oson yechish. 7 xil usulda. Qiziqarli matematika. 57-dars

Tarkib

Qadamlar
Maslahat

Kvadrat tenglama - bu bitta o'zgaruvchan polinom, bu erda 2 bu o'zgaruvchining eng yuqori ko'rsatkichidir. Kvadrat tenglamalarni echishning uchta asosiy usuli bor: 1) agar iloji bo'lsa, tenglamani omillarga aylantiring, 2) kvadratik formuladan foydalaning yoki 3) kvadratni to'ldiring. Ushbu uchta usulni qanday qilib malakali bo'lishni o'rganish uchun quyidagi bosqichlarni bajaring.

Qadamlar

3-usulning 1-usuli: Tenglamalarni omillarga tahlil qilish

Hammasi bir xil atamalarni qo'shing va ularni tenglamaning bir tomoniga o'tkazing. Faktorni tahlil qilishda birinchi qadam uning barcha shartlarini yon tomonga qo'yishdir, shunda ular ijobiy bo'ladi. Terimlarni birlashtirish uchun barcha atamalarni, tarkibidagi har qanday atamalarni va doimiylarni (atamalar butun sonlar) qo'shing yoki olib tashlang, ularni bir tomonga aylantiring va boshqa tomonda hech narsa qoldirmang. Keyin teng belgining boshqa tomoniga "0" yozishingiz mumkin. Buni qanday qilish kerak:
Ifodani omilga qarab tahlil qiling. Ifodani faktor qilish uchun (3) o'z ichiga olgan atama omillari va doimiy (-4) omillardan foydalanib, ularni ko'paytirib, so'ngra (-11) markaziy qismga qo'shishingiz kerak. . Buni qanday qilish kerak:
- Faqat bitta mumkin bo'lgan omillar to'plami mavjud va siz uni quyidagi qavs ichida qayta yozishingiz mumkin:.
- Keyin ko'paytishda -11 barobarga teng bo'lgan kombinatsiyani topish uchun 4 omillarini birlashtirish uchun qisqartirishni qo'llang. Siz 4 va 1 yoki 2 va 2 dan foydalanishingiz mumkin, chunki ularning ikkalasi ham 4 ga teng mahsulotga ega, shunchaki omil salbiy bo'lishi kerakligini unutmang, chunki bizning muddatimiz -4.
- Sinov usuli bilan biz omillar kombinatsiyasini tekshiramiz. Ko'paytirishni amalga oshirganda, biz olamiz. Shartlarni qo'shing va biz maqsad qilib qo'ygan o'rta muddatli atama. Shunday qilib, biz faqat kvadratik funktsiyani faktorizatsiya qildik.
- Ushbu testning namunasi sifatida keling: = ning noto'g'ri (noto'g'ri) kombinatsiyasini ko'rib chiqaylik. Ushbu shartlarni birlashtirib, biz olamiz. -2 va 2 ning mahsulotlari -4 ga teng ekanligi to'g'ri bo'lsa-da, ularning orasidagi atama to'g'ri emas, chunki biz bunga muhtojmiz, emas.
Qavs ichidagi har bir ifoda nolga teng bo'lsin individual tenglamalar sifatida. U erdan umumiy tenglamani nolga tenglashtiradigan ikkita qiymatini toping. 0. Endi tenglamani faktor qilganingizdan so'ng, ifodani qavslar ichiga nol bilan kiritishingiz kifoya. Nima uchun? Buning sababi shundaki, nol mahsulot uchun bizda faktor nol bo'lishi kerak bo'lgan "printsip, qonun yoki xususiyat" mavjud. Shuning uchun qavs ichidagi kamida bitta qiymat nolga teng bo'lishi kerak; ya'ni (3x + 1) yoki (x - 4) nolga teng bo'lishi kerak. Demak, bizda ham.
Ushbu "nol" tenglamalarning har birini mustaqil ravishda eching. Kvadrat tenglama ikkita mumkin echimga ega. O'zgaruvchini ajratib, uning ikkita echimini yakuniy natija sifatida yozib, x o'zgaruvchisi uchun har bir mumkin bo'lgan echimni toping. Mana qanday:
- 3x + 1 = 0 ni eching
  - Ikkala tomonni olib tashlang: 3x = -1 .....
  - Yonlarni ajratish: 3x / 3 = -1/3 .....
  - Yiqilish: x = -1/3 .....
- X - 4 = 0 ni eching
  - Ikkala tomonni olib tashlang: x = 4 .....
- O'zingizning mumkin bo'lgan echimlaringizni yozing: x = (-1/3, 4) ....., ya'ni x = -1/3 yoki x = 4 ikkalasi ham to'g'ri.
X = -1/3 dyuymni tekshiring (3x + 1) (x - 4) = 0:

Ifoda o'rniga bizda mavjud (3 + 1)( – 4) ?=? 0..... Yiqilish: (-1 + 1) (- 4 1/3)? =? 0 ..... Ko'paytirishni amalga oshiramiz (0) (- 4 1/3) = 0 ..... 0 = 0 ..... to'g'ri, x = -1/3 ning echimi tenglama.
X = 4 dyuymni tekshiring (3x + 1) (x - 4) = 0:

Ifoda o'rniga bizda mavjud (3 + 1)( – 4) ?=? 0 ..... Yiqilib, biz quyidagilarni olamiz: (13) (4 - 4)? =? 0 ..... Ko'paytirishni bajaring: (13) (0) = 0 ..... 0 = 0 ..... To'g'ri, x = 4 - bu tenglamaning echimi.
- Shunday qilib, ushbu ikkala mumkin bo'lgan echimlar alohida-alohida "sinovdan o'tkazildi" va ikkalasi ham muammoni hal qilishlari va ikkita alohida haqiqiy echim ekanligi tasdiqlanishi mumkin.
reklama

3-dan 2-usul: kvadratik formuladan foydalaning

Hammasi bir xil atamalarni qo'shing va ularni tenglamaning bir tomoniga o'tkazing. Terim ijobiy belgini o'z ichiga olishi uchun barcha atamalarni teng belgining bir tomoniga o'tkazadi. Terminlarni kamayish tartibida qayta yozing, ya'ni avval bu atama, so'ngra doimiy va nihoyat doimiy bo'ladi. Mana qanday:
- 4x - 5x - 13 = x -5
- 4x - x - 5x - 13 +5 = 0
- 3x - 5x - 8 = 0
Kvadratik formulangizni yozing. Anavi:
Kvadrat tenglamadagi a, b va c qiymatlarini aniqlang. Chiqdi a x ning koeffitsienti, b x va koeffitsientidir v doimiy. 3x -5x - 8 = 0 tenglama bilan a = 3, b = -5 va c = -8. Iltimos, qog'ozga yozib qo'ying.
A, b va c qiymatlarini tenglamaga ulang. Endi yuqoridagi uchta o'zgaruvchining qiymatlarini bilsangiz, ularni quyidagi tenglamaga qo'yishingiz mumkin:
- {-b +/- √ (b - 4ac)} / 2
- {-(-5) +/-√ ((-5) - 4(3)(-8))}/2(3) =
- {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3)
Hisob-kitoblarni bajaring. Raqamlarni almashtirgandan so'ng, ijobiy yoki salbiy belgilarni kamaytirish uchun qolgan hisob-kitoblarni bajaring, qolgan sonlarni ko'paytiring yoki kvadratga qo'ying. Mana qanday:
- {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3) =
- {5 +/-√(25 + 96)}/6
- {5 +/-√(121)}/6
Kvadrat ildizni yiqitish. Agar radikal belgisi ostida mukammal kvadrat bo'lsa, siz butun sonni olasiz. Agar u mukammal kvadrat bo'lmasa, uni eng oddiy radikal shaklga keltiring. Agar bu salbiy bo'lsa, va bu salbiy bo'lishi kerakligiga ishonchingiz komil, echim juda murakkab bo'ladi. Ushbu misolda √ (121) = 11. Biz quyidagilarni yozishimiz mumkin edi: x = (5 +/- 11) / 6.
Ijobiy va salbiy echimlarni hal qiling. Agar kvadrat ildizni olib tashlagan bo'lsangiz, x ning ijobiy va salbiy echimlarini topguncha davom ettirishingiz mumkin. Endi sizda (5 +/- 11) / 6 bo'lsa, ikkita variantni yozishingiz mumkin:
- (5 + 11)/6
- (5 - 11)/6
Ijobiy va salbiy echimlarni toping. Biz faqat hisob-kitob qilishimiz kerak:
- (5 + 11)/6 = 16/6
- (5-11)/6 = -6/6
Yiqilish. Javoblaringizni qisqartirish uchun siz ikkala sonni va modelni eng katta umumiy bo'luvchiga ajratishingiz kerak. Birinchi kasrning ayiruvchisi va maxrajini 2 ga, maxraji va ikkinchi kasrining maxrajini 6 ga ajrating va x ni topdingiz.
- 16/6 = 8/3
- -6/6 = -1
- x = (-1, 8/3)
reklama

3-dan 3-usul: kvadratni to'ldiring

Barcha shartlarni tenglamaning bir tomoniga o'tkazing. Bunga ishonch hosil qiling a yoki x ijobiy belgiga ega. Mana qanday:
- 2x - 9 = 12x =
- 2x - 12x - 9 = 0
  - Ushbu tenglamada a teng 2, b -12 ga teng v -9 ga teng.
Ko'chirildi v yoki boshqa tomonga doimiy. Konstantalar - sonli atamalar, ularning tarkibida hech qanday o'zgaruvchi bo'lmaydi. Keling, uni tenglamaning o'ng tomoniga o'tkazamiz:
- 2x - 12x - 9 = 0
- 2x - 12x = 9
Ikkala tomonni koeffitsientlar bilan ajrating a yoki x koeffitsienti. Agar x oldida muddat bo'lmasa, uning koeffitsienti 1 ga teng va siz ushbu qadamni o'tkazib yuborishingiz mumkin. Bizning holatda, tenglamadagi barcha atamalarni quyidagicha 2 ga bo'lish kerak bo'ladi:
- 2x / 2 - 12x / 2 = 9/2 =
- x - 6x = 9/2
Baham ko'ring b ikkiga, kvadratga aylantiring va natijani ikkala tomonga qo'shing. Ushbu misolda, b teng -6. Biz quyidagilarni qilamiz:
- -6/2 = -3 =
- (-3) = 9 =
- x - 6x + 9 = 9/2 + 9
Ikki tomonni qulab tushirish. Chap tomonni faktor qilish uchun bizda (x-3) (x-3) yoki (x-3) mavjud. 9/2 + 9 yoki 9/2 + 18/2 ni olish uchun o'ng tomonni qo'shib, 2/27 ni oling.
Ikkala tomonning kvadrat ildizini toping. (X-3) ning kvadrat ildizi (x-3) ga teng. 27/2 kvadrat ildizini ± √ (27/2) sifatida ifodalashingiz mumkin. Shunday qilib, x - 3 = ± √ (27/2).
Radikal belgini yiqitib, x ni toping. ± √ (27/2) ni kamaytirish uchun 27, 2 ichida kvadrat yoki uning koeffitsientini topamiz. 9-kvadrat 27 ga teng, chunki 9x3 = 27. 9ni radikal belgidan olib tashlash uchun biz uni tortib olamiz va radikal belgiga qo'shimcha ravishda uning kvadratik ildizi 3 ni yozamiz. Numeratorda qolgan 3 faktorni chiqarib bo'lmaydi, shuning uchun u radikal belgidan pastda qoladi. Shu bilan birga, biz fraktsiya namunasida 2 ni ham qoldiramiz. Keyin tenglamaning chap tomonidagi doimiy 3 ni o'ngga siljiting va ikkita echimni yozing:
- x = 3 + (-6) / 2
- x = 3 - (-6) / 2)
reklama

Maslahat

Ko'rinib turibdiki, radikal belgi to'liq yo'qolmaydi. Shuning uchun numeratordagi atamalar kümülatif bo'lishi mumkin emas (chunki ular bir xil xususiyat terminlari emas). Shuning uchun, ortiqcha yoki minus bo'linishi ma'nosizdir. Buning o'rniga biz barcha umumiy omillarni ajratishimiz mumkin, ammo FAQAT doimiy bo'lganda VA Har qanday radikalning koeffitsientlari ham ushbu omilni o'z ichiga oladi.
Agar radikal belgi mukammal kvadrat bo'lmasa, oxirgi qadamlar biroz boshqacha tarzda amalga oshirilishi mumkin. Kabi:
Agar "b" juft son bo'lsa, formula quyidagicha bo'ladi: {- (b / 2) +/- √ (b / 2) -ac} / a.