Binomialni qanday hisoblash mumkin

Tarkib

Qadamlar
3dan 1 qism: Faktoring binomlari
3 -qismning 2 -qismi: Tenglamalarni yechish uchun binomlarni faktoring qilish
3dan 3 qism: Murakkab muammolarni hal qilish
Maslahatlar
Ogohlantirishlar

Binomial (binomial) - bu ikkita atamali matematik ifoda, ular orasida ortiqcha yoki minus belgisi mavjud, masalan: ${ Displaystyle ax + b}$ ... Birinchi a'zo o'zgaruvchini o'z ichiga oladi, ikkinchisi esa o'z ichiga oladi yoki kiritmaydi. Binomialni faktoring qilish, ko'paytirilganda, uni hal qilish yoki soddalashtirish uchun asl binomialni chiqaradigan atamalarni topishni o'z ichiga oladi.

Qadamlar

3dan 1 qism: Faktoring binomlari

1 Faktoring jarayonining asoslarini tushunish. Binomialni faktoring qilganda, asl binomialning har bir atamasini bo'luvchi omil qavsdan chiqariladi. Masalan, 6 raqami butunlay 1, 2, 3, 6 ga bo'linadi. Shunday qilib, 6 sonining bo'linuvchilari 1, 2, 3, 6 raqamlaridir.
- Bo'linuvchilar 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
- Har qanday sonning bo'linuvchilari 1 va sonning o'zi. Masalan, 3 ga bo'linuvchilar 1 va 3 ga teng.
- Butun sonli bo'linuvchilar faqat butun sonlar bo'lishi mumkin. 32 raqamini 3.564 yoki 21.4952 ga bo'lish mumkin, lekin siz butun sonni emas, balki kasr kasrini olasiz.
2 Faktoring jarayonini osonlashtirish uchun binomial shartlarga buyurtma bering. Binomial - bu ikkita atamaning yig'indisi yoki farqi, ularning kamida bittasi o'zgaruvchini o'z ichiga oladi. Ba'zida o'zgaruvchilar kuchga ko'tariladi, masalan x2{ Displaystyle x ^ {2}} yoki 5y4{ Displaystyle 5y ^ {4}}... Binomial shartlarni eksponentlar o'sish tartibida buyurtma qilish yaxshidir, ya'ni eng kichik ko'rsatkichli atama birinchi bo'lib yoziladi va eng kattasi oxirgi bo'ladi. Misol uchun:
- ${ Displaystyle 3t + 6}$ → ${ Displaystyle 6 + 3t}$
- ${ Displaystyle 3x ^ {4} + 9x ^ {2}}$ → ${ Displaystyle 9x ^ {2} + 3x ^ {4}}$
- x2−2{ Displaystyle x ^ {2} -2} → −2+x2{ Displaystyle -2 + x ^ {2}}
  - 2 oldidagi minus belgisiga e'tibor bering. Agar atama olib tashlansa, uning oldiga minus belgisini yozing.
3 Ikkala atamaning eng katta umumiy bo'linuvchisini (GCD) toping. GCD - binomning ikkala a'zosi bo'linadigan eng katta raqam. Buning uchun har bir atamaning bo'linuvchilarini binomialdan toping va keyin eng katta umumiy bo'luvchini tanlang. Misol uchun:
- Vazifa:3t+6{ Displaystyle 3t + 6}.
  - Ajratuvchilar 3: 1, 3
  - Bo'linuvchilar 6: 1, 2, 3, 6.
  - GCD = 3.
4 Binomialdagi har bir atamani eng katta umumiy bo'luvchi (GCD) ga bo'ling. GCDni aniqlash uchun buni qiling. E'tibor bering, binomialning har bir a'zosi kamayadi (chunki bo'linadi), lekin agar GCD qavsdan chiqarilsa, yakuniy ifoda asliga teng bo'ladi.
- Vazifa: ${ Displaystyle 3t + 6}$ .
- GCDni toping: 3
- Har bir binomial atamani gcd ga bo'ling: ${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
5 Bo'linuvchini qavs ichidan olib tashlang. Avval siz binomning ikkala shartini 3 -bo'linuvchi bilan bo'linib, oldingiz t+2{ Displaystyle t + 2}... Ammo siz 3 dan qutulolmaysiz - boshlang'ich va yakuniy ifodalarning qiymatlari teng bo'lishi uchun, qavs tashqarisiga 3 qo'yib, bo'linish natijasida olingan ifodani qavs ichida yozish kerak. Misol uchun:
- Vazifa: ${ Displaystyle 3t + 6}$ .
- GCDni toping: 3
- Har bir binomial atamani gcd ga bo'ling: ${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
- Bo'linuvchini olingan ifodaga ko'paytiring: ${ Displaystyle 3 (t + 2)}$
- Javob: ${ Displaystyle 3 (t + 2)}$
6 Javobingizni tekshiring. Buning uchun qavs ichidagi har bir sonni qavs oldidagi sonni ko'paytiring. Agar siz asl binomialni olsangiz, yechim to'g'ri. Endi muammoni hal qiling 12t+18{ Displaystyle 12t + 18}:
- Ishtirokchilarga buyurtma bering: ${ Displaystyle 18 + 12t}$
- GCDni toping: ${ Displaystyle 6}$
- Har bir binomial atamani gcd ga bo'ling: ${ Displaystyle { frac {18t} {6}} + { frac {12t} {6}} = 3 + 2t}$
- Bo'linuvchini olingan ifodaga ko'paytiring: ${ Displaystyle 6 (3 + 2t)}$
- Javobni tekshiring: ${ Displaystyle (6 * 3) + (6 * 2t) = 18 + 12t}$

3 -qismning 2 -qismi: Tenglamalarni yechish uchun binomlarni faktoring qilish

1 Binomni soddalashtirish va tenglamani echish uchun omil. Bir qarashda, ba'zi tenglamalarni echishning iloji yo'qdek tuyuladi (ayniqsa, murakkab binomlar bilan). Masalan, tenglamani yeching 5y−2y2=−3y{ Displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}... Bu tenglamada kuchlar bor, shuning uchun birinchi navbatda ifodani hisobga oling.
- Vazifa: ${ Displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
- Shuni yodda tutingki, binomialning ikkita a'zosi bor. Agar ifoda ko'proq atamalarni o'z ichiga olsa, polinomlarni echishni o'rganing.
2 Tenglamaning ikkala tomoniga bir nechta monomialni qo'shing yoki aylantiring, shunda nol tenglamaning bir tomonida qoladi. Faktorizatsiya holatida tenglamalarning echimi o'zgarmas haqiqatga asoslanadi, nolga ko'paytirilgan har qanday ifoda nolga teng. Shuning uchun, agar tenglamani nolga tenglashtirsak, uning har qanday omili nolga teng bo'lishi kerak. Tenglamaning bir tomonini 0 ga o'rnating.
- Vazifa: ${ Displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
- Nolga qo'ying:5y−2y2+3y=−3y+3y{ Displaystyle 5y -2y ^ {2} + 3y = -3y + 3y}
  - ${ Displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
3 Olingan axlat qutisi. Buni oldingi bo'limda tasvirlanganidek qiling. Eng katta umumiy omilni (GCD) toping, binomialning ikkala atamasini unga bo'ling va keyin faktorni qavs ichidan olib tashlang.
- Vazifa: ${ Displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
- Nolga qo'ying: ${ Displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
- Faktor: ${ Displaystyle 2y (4-y) = 0}$
4 Har bir omilni nolga qo'ying. Olingan ifodada 2y 4 - y ga ko'paytiriladi va bu mahsulot nolga teng. Nolga ko'paytiriladigan har qanday ifoda (yoki atama) nolga teng bo'lgani uchun, 2y yoki 4 - y - 0. Olingan monomial va binomialni "y" ni topish uchun nolga qo'ying.
- Vazifa: ${ Displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
- Nolga qo'ying: ${ Displaystyle 8y-2y ^ {2} + 3y = 0}$
- Faktor: ${ Displaystyle 2y (4-y) = 0}$
- Ikkala omilni ham 0 ga qo'ying:
  - ${ Displaystyle 2y = 0}$
  - ${ Displaystyle 4-y = 0}$
5 Yakuniy javobni (yoki javoblarni) topish uchun hosil bo'lgan tenglamalarni eching. Har bir omil nolga teng bo'lgani uchun, tenglama bir nechta echimlarga ega bo'lishi mumkin. Bizning misolimizda:
- 2y=0{ Displaystyle 2y = 0}
  - ${ displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {0} {2}}}$
  - y = 0
- 4−y=0{ Displaystyle 4-y = 0}
  - ${ Displaystyle 4-y + y = 0 + y}$
  - y = 4
6 Javobingizni tekshiring. Buning uchun topilgan qiymatlarni asl tenglamaga almashtiring. Agar tenglik rost bo'lsa, unda qaror to'g'ri. Topilgan qiymatlarni "y" o'rniga qo'ying. Bizning misolimizda y = 0 va y = 4:
- 5(0)−2(0)2=−3(0){ Displaystyle 5 (0) -2 (0) ^ {2} = - 3 (0)}
  - ${ displaystyle 0 + 0 = 0}$
  - ${ Displaystyle 0 = 0}$ Bu to'g'ri qaror
- 5(4)−2(4)2=−3(4){ Displaystyle 5 (4) -2 (4) ^ {2} = - 3 (4)}
  - ${ Displaystyle 20-32 = -12}$
  - ${ Displaystyle -12 = -12}$ Va bu to'g'ri qaror

3dan 3 qism: Murakkab muammolarni hal qilish

1 Shuni esda tutingki, o'zgaruvchiga ega bo'lgan atamani faktorizatsiya qilish mumkin, hatto o'zgaruvchi kuchga ko'tarilsa ham. Faktoringda siz binomialning har bir a'zosini yaxlit bo'ladigan monomialni topishingiz kerak. Masalan, monomial x4{ Displaystyle x ^ {4}} faktorizatsiya qilish mumkin x∗x∗x∗x{ Displaystyle x * x * x * x}... Ya'ni, agar binomialning ikkinchi atamasi "x" o'zgaruvchisini ham o'z ichiga olsa, u holda "x" qavs ichidan chiqarilishi mumkin. Shunday qilib, o'zgaruvchilarni butun sonlar sifatida ko'rib chiqing. Misol uchun:
- Binomialning ikkala a'zosi ${ displaystyle 2t + t ^ {2}}$ "t" ni o'z ichiga oladi, shuning uchun "t" qavs ichidan chiqarilishi mumkin: ${ Displaystyle t (2 + t)}$
- Shuningdek, quvvatga ko'tarilgan o'zgaruvchini qavsdan chiqarib olish mumkin. Masalan, binomialning ikkala a'zosi ${ Displaystyle x ^ {2} + x ^ {4}}$ o'z ichiga oladi ${ Displaystyle x ^ {2}}$ , shunday ${ Displaystyle x ^ {2}}$ qavsdan chiqarib olish mumkin: ${ Displaystyle x ^ {2} (1 + x ^ {2})}$
2 Binomial olish uchun shunga o'xshash shartlarni qo'shing yoki olib tashlang. Masalan, ifoda berilgan 6+2x+14+3x{ Displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}... Bir qarashda, bu polinom, lekin aslida bu iborani binomga aylantirish mumkin. O'xshash atamalarni qo'shing: 6 va 14 (o'zgaruvchini o'z ichiga olmaydi) va 2x va 3x (bir xil "x" o'zgaruvchisini o'z ichiga oladi). Bunday holda, faktoring jarayoni soddalashtiriladi:
- Asl ifodasi: ${ Displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$
- Ishtirokchilarga buyurtma bering: ${ Displaystyle 2x + 3x + 14 + 6}$
- Shunga o'xshash shartlarni qo'shing: ${ Displaystyle 5x + 20}$
- GCDni toping: ${ Displaystyle 5 (x) +5 (4)}$
- Faktor: ${ Displaystyle 5 (x + 4)}$
3 Mukammal kvadratlarning farqini aniqlang. Zo'r kvadrat - bu, masalan, kvadrat ildizi tamsayı bo'lgan son 9{ Displaystyle 9}(3∗3){ Displaystyle (3 * 3)}, x2{ Displaystyle x ^ {2}}(x∗x){ Displaystyle (x * x)} va hatto 144t2{ displaystyle 144t ^ {2}}(12t∗12t){ Displaystyle (12t * 12t)}... Agar binomial mukammal kvadratlarning farqi bo'lsa, masalan, a2−b2{ Displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}, keyin quyidagi formula bo'yicha faktorizatsiya qilinadi:
- Kvadrat formulaning farqi: ${ Displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (a -b)}$
- Vazifa: ${ Displaystyle 4x ^ {2} -9}$
- Kvadrat ildizlarni ajratib oling:
  - ${ Displaystyle { sqrt {4x ^ {2}}} = 2x}$
  - ${ Displaystyle { sqrt {9}} = 3}$
- Topilgan qiymatlarni formulaga almashtiring: ${ Displaystyle 4x ^ {2} -9 = (2x + 3) (2x -3)}$
4 To'liq kublar orasidagi farqni aniqlang. Agar binomial to'liq kublarning farqi bo'lsa, masalan, a3−b3{ Displaystyle a ^ {3} -b ^ {3}}, keyin u maxsus formula yordamida faktorizatsiya qilinadi. Bunday holda, binomialning har bir a'zosidan kub ildizini ajratib olish va topilgan qiymatlarni formulaga almashtirish kerak.
- Kublar orasidagi farq formulasi: ${ Displaystyle a ^ {3} -b ^ {3} = (a -b) (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}$
- Vazifa: ${ Displaystyle 8x ^ {3} -27}$
- Kub ildizlarini chiqarib oling:
  - ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
  - ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
- Topilgan qiymatlarni formulaga almashtiring: ${ Displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x -3) (4x ^ {2} + 6x + 9)}$
5 To'liq kublar yig'indisini aniqlang. Mukammal kvadratlar yig'indisidan farqli o'laroq, to'liq kublar yig'indisi, masalan. a3+b3{ Displaystyle a ^ {3} + b ^ {3}}, maxsus formula yordamida faktorizatsiyalanishi mumkin. Bu kublar orasidagi farq formulasiga o'xshaydi, lekin belgilar teskari. Formula juda oddiy - undan foydalanish uchun muammoning to'liq kublari yig'indisini toping.
- Kublar yig'indisining formulasi: ${ Displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ {2})}$
- Vazifa: ${ Displaystyle 8x ^ {3} -27}$
- Kub ildizlarini chiqarib oling:
  - ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
  - ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
- Topilgan qiymatlarni formulaga almashtiring: ${ Displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x + 3) (4x ^ {2} -6x + 9)}$

Maslahatlar

Ba'zida binomial a'zolar umumiy bo'luvchiga ega bo'lmaydi. Ba'zi vazifalarda a'zolar soddalashtirilgan shaklda taqdim etiladi.
Agar GCDni darhol topa olmasangiz, kichik sonlarga bo'lishdan boshlang. Masalan, agar siz 32 va 16 raqamlarining GCD 16 ekanligini ko'rmasangiz, ikkala raqamni ham 2 ga bo'ling. Siz 16 va 8 ni olasiz; bu raqamlarni 8 ga bo'lish mumkin. Endi siz 2 va 1 ni olasiz; bu raqamlarni kamaytirish mumkin emas. Shunday qilib, berilgan sonlarning umumiy bo'linuvchisi bo'lgan katta son (8 va 2 bilan solishtirganda) borligi aniq.
E'tibor bering, oltinchi tartibli atamalar (masalan, 6 ta eksponent bilan x) ham mukammal kvadratlar, ham mukammal kublardir. Shunday qilib, oltinchi tartibli atamali binomiallarga, masalan, x - 64, kvadratlar va kublar farqi uchun formulalarni (istalgan tartibda) qo'llash mumkin. Binom bilan to'g'ri parchalanish uchun avval kvadratlar farqi formulasini qo'llash yaxshiroqdir.