Tarkib

• Qadamlar
• 4 -qismning 1 -qismi: Tenglama qanday yoziladi
• 4 -qismning 2 -qismi: Evklid algoritmini qanday yozish kerak
• 4 -qismning 3 -qismi: Evklid algoritmidan foydalanib qanday yechim topish mumkin
• 4dan 4 qism: cheksiz boshqa echimlarni toping

Chiziqli Diofantin tenglamasini echish uchun butun sonlar bo'lgan "x" va "y" o'zgaruvchilarining qiymatlarini topish kerak. Butun sonli yechim odatdagidan ko'ra murakkabroq va muayyan harakatlar majmuini talab qiladi. Birinchidan, siz koeffitsientlarning eng katta umumiy bo'linuvchisini (GCD) hisoblashingiz va keyin echimini topishingiz kerak. Chiziqli tenglamaning bitta tamsayıli yechimini topganingizdan so'ng, cheksiz ko'p sonli boshqa echimlarni topish uchun oddiy naqshdan foydalanishingiz mumkin.

Qadamlar

4 -qismning 1 -qismi: Tenglama qanday yoziladi

1. 1 Tenglamani standart shaklda yozing. Chiziqli tenglama - o'zgaruvchilarning ko'rsatkichlari 1dan oshmaydigan tenglama. Bunday chiziqli tenglamani echish uchun avval uni standart shaklda yozing. Chiziqli tenglamaning standart shakli quyidagicha: ${ Displaystyle Ax + By = C}$, qaerda ${ Displaystyle A, B}$ va ${ Displaystyle C}$ - butun sonlar.
   • Agar tenglama boshqa shaklda berilgan bo'lsa, uni asosiy algebraik amallar yordamida standart shaklga keltiring. Masalan, tenglama berilgan ${ Displaystyle 23x + 4y -7x = -3y + 15}$... O'xshash atamalar bering va tenglamani shunday yozing: ${ Displaystyle 16x + 7y = 15}$.
2. 2 Tenglamani soddalashtiring (iloji bo'lsa). Tenglamani standart shaklda yozganda, koeffitsientlarga qarang ${ Displaystyle A, B}$ va ${ Displaystyle C}$... Agar bu koeffitsientlar GCDga ega bo'lsa, barcha uchta koeffitsientni unga bo'ling. Bunday soddalashtirilgan tenglamaning echimi ham asl tenglamaning echimi bo'ladi.
   • Masalan, agar uchta koeffitsient teng bo'lsa, ularni kamida 2 ga bo'ling. Masalan:
     • ${ Displaystyle 42x + 36y = 48}$ (barcha a'zolar 2 ga bo'linadi)
     • ${ Displaystyle 21x + 18y = 24}$ (Endi barcha a'zolar 3 ga bo'linadi)
     • ${ Displaystyle 7x + 6y = 8}$ (bu tenglamani endi soddalashtirib bo'lmaydi)
3. 3 Tenglama yechilishi mumkinligini tekshiring. Ba'zi hollarda, siz darhol tenglamaning echimlari yo'qligini aytishingiz mumkin. Agar "C" koeffitsienti "A" va "B" koeffitsientlarining GCD ga bo'linmasa, tenglamaning echimlari yo'q.
   • Masalan, agar ikkala koeffitsient ham ${ Displaystyle A}$ va ${ Displaystyle B}$ teng, keyin koeffitsient ${ Displaystyle C}$ teng bo'lishi kerak. Lekin agar ${ Displaystyle C}$ g'alati, keyin yechim yo'q.
     • Tenglama ${ Displaystyle 2x + 4y = 21}$ butun sonli echimlar yo'q.
     • Tenglama ${ Displaystyle 5x + 10y = 17}$ butun sonli echimlar yo'q, chunki tenglamaning chap tomoni 5 ga bo'linadi va o'ng tomoni yo'q.

4 -qismning 2 -qismi: Evklid algoritmini qanday yozish kerak

1. 1 Evklid algoritmini tushunish. Bu ketma -ket takrorlanadigan bo'linmalar bo'lib, unda oldingi qoldiq keyingi bo'luvchi sifatida ishlatiladi. Raqamlarni yaxlit bo'luvchi oxirgi bo'luvchi - bu ikkita sonning eng katta umumiy bo'luvchisi (GCD).
   • Masalan, Evklid algoritmidan foydalanib, 272 va 36 raqamli GCDni topamiz:
     • ${ Displaystyle 272 = 7 * 36 + 20}$ - Katta sonni (272) kichik raqamga (36) bo'linib, qolganiga (20) e'tibor bering;
     • ${ Displaystyle 36 = 1 * 20 + 16}$ - oldingi bo'linuvchini (36) oldingi qoldiqqa (20) bo'linadi. Yangi qoldiqqa e'tibor bering (16);
     • ${ Displaystyle 20 = 1 * 16 + 4}$ - oldingi bo'linuvchini (20) oldingi qoldiqqa (16) bo'linadi. Yangi qoldiqqa e'tibor bering (4);
     • ${ Displaystyle 16 = 4 * 4 + 0}$ - Oldingi bo'linuvchini (16) oldingi qoldiqqa (4) bo'ling. Qolganlari 0 bo'lgani uchun, biz aytishimiz mumkinki, 4 - bu ikkita 272 va 36 raqamli GCD.
2. 2 Evklid algoritmini "A" va "B" koeffitsientlariga qo'llang. Chiziqli tenglamani standart shaklda yozganda, "A" va "B" koeffitsientlarini aniqlang, so'ngra GCDni topish uchun ularga Evklid algoritmini qo'llang. Masalan, chiziqli tenglama berilgan ${ Displaystyle 87x-64y = 3}$.
   • Bu erda Evklidning A = 87 va B = 64 koeffitsientlari algoritmi:
     • ${ Displaystyle 87 = 1 * 64 + 23}$
     • ${ Displaystyle 64 = 2 * 23 + 18}$
     • ${ Displaystyle 23 = 1 * 18 + 5}$
     • ${ Displaystyle 18 = 3 * 5 + 3}$
     • ${ Displaystyle 5 = 1 * 3 + 2}$
     • ${ Displaystyle 3 = 1 * 2 + 1}$
     • ${ Displaystyle 2 = 2 * 1 + 0}$
3. 3 Eng katta umumiy omilni (GCD) toping. Oxirgi bo'luvchi 1 bo'lgani uchun, GCD 87 va 64 - 1. Shunday qilib, 87 va 64 - bir -biriga nisbatan oddiy sonlar.
4. 4 Natijani tahlil qiling. Gcd koeffitsientlarini topganingizda ${ Displaystyle A}$ va ${ Displaystyle B}$, uni koeffitsient bilan solishtiring ${ Displaystyle C}$ asl tenglama. Agar ${ Displaystyle C}$ gcd ga bo'linadi ${ Displaystyle A}$ va ${ Displaystyle B}$, tenglama butun sonli yechimga ega; aks holda tenglamaning echimi yo'q.
   • Masalan, tenglama ${ Displaystyle 87x-64y = 3}$ echilishi mumkin, chunki 3 1 ga bo'linadi (gcd = 1).
   • Masalan, GCD = 5 deylik. 3 5 ga teng bo'linmaydi, shuning uchun bu tenglamaning butun sonli echimlari yo'q.
   • Quyida ko'rsatilgandek, agar tenglamada bitta butun sonli yechim bo'lsa, unda cheksiz ko'p sonli boshqa butun echimlar mavjud.

4 -qismning 3 -qismi: Evklid algoritmidan foydalanib qanday yechim topish mumkin

1. 1 GCDni hisoblash bosqichlarini raqamlang. Chiziqli tenglamaning yechimini topish uchun almashtirish va soddalashtirish jarayonining asosi sifatida evklid algoritmidan foydalanish kerak.
   • GCDni hisoblash bosqichlarini raqamlashdan boshlang. Hisoblash jarayoni quyidagicha ko'rinadi:
     • ${ displaystyle { text {1 -qadam}: 87 = (1 * 64) +23}$
     • ${ displaystyle { text {2 -qadam}: 64 = (2 * 23) +18}$
     • ${ displaystyle { text {3 -qadam}: 23 = (1 * 18) +5}$
     • ${ displaystyle { text {4 -qadam}}: 18 = (3 * 5) +3}$
     • ${ displaystyle { text {5 -qadam}: 5 = (1 * 3) +2}$
     • ${ displaystyle { text {6 -qadam}}: 3 = (1 * 2) +1}$
     • ${ displaystyle { text {7 -qadam}}: 2 = (2 * 1) +0}$
2. 2 Qolganlari qolgan oxirgi bosqichga e'tibor bering. Qolganini ajratish uchun bu qadam uchun tenglamani qayta yozing.
   • Bizning misolimizda, qoldiq bilan oxirgi qadam 6 -qadam. Qolganlari 1 -chi bosqichda tenglamani quyidagicha qayta yozing:
     • ${ Displaystyle 1 = 3- (1 * 2)}$
3. 3 Oldingi qadamning qolgan qismini ajratib oling. Bu jarayon bosqichma-bosqich "yuqoriga ko'tarilish" dir. Har safar siz qolgan qadamni oldingi bosqichdagi tenglamada ajratasiz.
   • 5 -qadamda qolgan tenglamani ajratib oling:
     • ${ Displaystyle 2 = 5- (1 * 3)}$ yoki ${ Displaystyle 2 = 5-3}$
4. 4 O'zgartiring va soddalashtiring. E'tibor bering, 6 -qadamdagi tenglama 2 -sonni o'z ichiga oladi va 5 -qadamdagi tenglamada 2 -raqam ajratiladi. Shunday qilib, 6 -qadamdagi tenglamadagi "2" o'rniga 5 -qadamdagi ifodani almashtiring:
   • ${ Displaystyle 1 = 3-2}$ (6 -qadam tenglamasi)
   • ${ Displaystyle 1 = 3- (5-3)}$ (2 o'rniga ifoda almashtirildi)
   • ${ Displaystyle 1 = 3-5 + 3}$ (ochilgan qavslar)
   • ${ Displaystyle 1 = 2 (3) -5}$ (soddalashtirilgan)
5. 5 O'zgartirish va soddalashtirish jarayonini takrorlang. Evklid algoritmini teskari tartibda harakat qilib, tasvirlangan jarayonni takrorlang. Har safar siz oldingi qadamdagi tenglamani qayta yozasiz va uni oxirgi tenglamaga qo'shasiz.
   • Biz ko'rib chiqqan oxirgi qadam 5 -qadam edi. Shunday qilib, 4 -bosqichga o'ting va qolganini bu qadam uchun tenglamada ajratib oling:
     • ${ Displaystyle 3 = 18- (3 * 5)}$
   • Bu ifodani oxirgi tenglamadagi "3" bilan almashtiring:
     • ${ Displaystyle 1 = 2 (18-3 * 5) -5}$
     • ${ Displaystyle 1 = 2 (18) -6 (5) -5}$
     • ${ Displaystyle 1 = 2 (18) -7 (5)}$
6. 6 O'zgartirish va soddalashtirish jarayonini davom ettiring. Bu jarayon Evklid algoritmining dastlabki bosqichiga yetguncha takrorlanadi. Jarayonning maqsadi - echiladigan asl tenglamaning 87 va 64 koeffitsientlari bilan tenglamani yozish. Bizning misolimizda:
   • ${ Displaystyle 1 = 2 (18) -7 (5)}$
   • ${ Displaystyle 1 = 2 (18) -7 (23-18)}$ (3 -qadamdagi ifodani almashtirdi)
     • ${ Displaystyle 1 = 2 (18) -7 (23) +7 (18)}$
     • ${ Displaystyle 1 = 9 (18) -7 (23)}$
   • ${ Displaystyle 1 = 9 (64-2 * 23) -7 (23)}$ (2 -qadamdagi ifodani almashtirdi)
     • ${ Displaystyle 1 = 9 (64) -18 (23) -7 (23)}$
     • ${ Displaystyle 1 = 9 (64) -25 (23)}$
   • ${ Displaystyle 1 = 9 (64) -25 (87-64)}$ (1 -qadamdagi ifodani almashtirdi)
     • ${ Displaystyle 1 = 9 (64) -25 (87) +25 (64)}$
     • ${ Displaystyle 1 = 34 (64) -25 (87)}$
7. 7 Olingan tenglamani asl koeffitsientlarga muvofiq qayta yozing. Evklid algoritmining birinchi bosqichiga qaytsangiz, natijada tenglamaning asl tenglamaning ikkita koeffitsienti borligini ko'rasiz. Tenglamani qayta yozing, shunda uning shartlari tartibi asl tenglamaning koeffitsientlariga mos keladi.
   • Bizning misolimizda asl tenglama ${ Displaystyle 87x-64y = 3}$... Shuning uchun, hosil bo'lgan tenglamani qayta yozing, shunda koeffitsientlar bir -biriga to'g'ri keladi."64" koeffitsientiga alohida e'tibor bering. Asl tenglamada bu koeffitsient manfiy, Evklid algoritmida esa musbat. Shuning uchun 34 omilni manfiy qilish kerak. Yakuniy tenglama shunday yoziladi:
     • ${ Displaystyle 87 (-25) -64 (-34) = 1}$
8. 8 Yechim topish uchun tegishli multiplikatorni qo'llang. E'tibor bering, bizning misolimizda GCD = 1, shuning uchun yakuniy tenglama 1 ga teng. Lekin asl tenglama (87x-64y) 3 ga teng. Shuning uchun, echimni olish uchun oxirgi tenglamadagi barcha atamalarni 3 ga ko'paytirish kerak:
   • ${ Displaystyle 87 (-25 * 3) -64 (-34 * 3) = 1 * 3}$
   • ${ Displaystyle 87 (-75) -64 (-102) = 3}$
9. 9 Tenglamaga butun sonli yechimni yozing. Asl tenglamaning koeffitsientlariga ko'paytiriladigan sonlar bu tenglamaning echimlari hisoblanadi.
   • Bizning misolimizda yechimni juft koordinata sifatida yozing: ${ Displaystyle (x, y) = ( - 75, -102)}$.

4dan 4 qism: cheksiz boshqa echimlarni toping

1. 1 Bilingki, cheksiz ko'p echimlar mavjud. Agar chiziqli tenglamada bitta butun sonli yechim bo'lsa, unda cheksiz ko'p sonli echimlar bo'lishi kerak. Mana, tez dalil (algebraik shaklda):
   • ${ Displaystyle Ax + By = C}$
   • ${ Displaystyle A (x + B) + B (y-A) = C}$ (agar siz "x" ga "B" ni qo'shsangiz va "y" dan "A" ni olib tashlasangiz, asl tenglamaning qiymati o'zgarmaydi)
2. 2 Original x va y qiymatlarini yozib oling. Keyingi (cheksiz) echimlarni hisoblash shabloni siz topgan yagona echimdan boshlanadi.
   • Bizning misolimizda yechim bir juft koordinatadir ${ Displaystyle (x, y) = ( - 75, -102)}$.
3. 3 "B" omilini "x" qiymatiga qo'shing. Yangi x qiymatini topish uchun buni bajaring.
   • Bizning misolimizda x = -75 va B = -64:
     • ${ Displaystyle x = -75 + ( - 64) = - 139}$
   • Shunday qilib, yangi "x" qiymati: x = -139.
4. 4 "Y" qiymatidan "A" omilini chiqarib tashlang. Asl tenglamaning qiymati o'zgarmasligi uchun bitta raqamni "x" ga qo'shganda "y" dan boshqa raqamni olib tashlash kerak.
   • Bizning misolimizda y = -102 va A = 87:
     • ${ Displaystyle y = -102-87 = -189}$
   • Shunday qilib, "y" uchun yangi qiymat: y = -189.
   • Yangi juft koordinatalar quyidagicha yoziladi: ${ Displaystyle (x, y) = ( - 139, -189)}$.
5. 5 Yechimni tekshiring. Yangi koordinata juftligi asl tenglamaning echimi ekanligini tekshirish uchun qiymatlarni tenglamaga ulang.
   • ${ Displaystyle 87x-64y = 3}$
   • ${ Displaystyle 87 (-139) -64 (-189) = 3}$
   • ${ Displaystyle 3 = 3}$
   • Tenglik ta'minlangani uchun qaror to'g'ri.
6. 6 Ko'p echim topish uchun iboralarni yozing. "X" qiymatlari asl echimga va "B" faktorining har qanday ko'paytmasiga teng bo'ladi. Buni quyidagi ifoda sifatida yozish mumkin:
   • x (k) = x + k (B), bu erda "x (k)" - "x" qiymatlari to'plami va "x" - "x" ning asl (birinchi) qiymati.
     • Bizning misolimizda:
     • ${ Displaystyle x (k) = - 75-64k}$
   • y (k) = y-k (A), bu erda y (k)-y qiymatlari to'plami va y-siz topgan asl (birinchi) y qiymati.
     • Bizning misolimizda:
     • ${ Displaystyle y (k) = - 102-87k}$