Tarkib

• Qadam bosish
• 1-dan 2-usul: Ildizni asosiy omillar bilan tortib olish
• 2-dan 2-usul: Kalkulyatorsiz kvadrat ildizlarni topish
• Uzoq bo'linish bilan
• Jarayonni tushunib oling
• Maslahatlar
• Ogohlantirishlar

Kalkulyatorlar paydo bo'lishidan oldin talabalar ham, professorlar ham kvadrat ildizlarni qalam va qog'oz bilan hisoblashlari kerak edi. Ba'zida qiyin bo'lgan bu ishni hal qilish uchun o'sha paytda turli xil texnikalar ishlab chiqilgan bo'lib, ulardan ba'zilari taxminiy baho beradi, boshqalari esa aniq qiymatni hisoblab chiqadi. Bir necha oson qadamda raqamning kvadrat ildizini qanday topishni bilib olish uchun o'qing.

Qadam bosish

1-dan 2-usul: Ildizni asosiy omillar bilan tortib olish

1. Raqamingizni quvvat omillariga ajrating. Ushbu usul raqamning kvadratini topishda son omillarini ishlatadi (songa qarab, aniq javob yoki taxmin bo'lishi mumkin). The omillar berilgan sonning har biri ketma-ket ko'paytirilib, shu sonni hosil qiladi. Masalan, siz 8 omillari 2 va 4 ga teng deb ayta olasiz, chunki 2 × 4 = 8. Boshqa tomondan, mukammal kvadratlar boshqa tamsayılar hosilasi bo'lgan butun sonlardir. Masalan, 25, 36 va 49 mukammal kvadratlar, chunki ular mos ravishda 5, 6 va 7 ga teng .. Ikkinchi kuch omillari, siz tushunganingizdek, bu ham mukammal kvadratlar bo'lgan omillar. Asosiy omillardan foydalanib kvadrat ildizni topish uchun avval sonni ikkinchi kuch omillariga bo'lishga harakat qiling.
   • Quyidagi misolni oling. Biz 400 ning kvadrat ildizini topamiz. Dastlab, biz raqamni quvvat omillariga ajratamiz. 400 - 100 ga ko'paytma bo'lgani uchun, biz uning 25 ga teng bo'linishini bilamiz - mukammal kvadrat. Tez yodgorlik 400/25 = 16,16 ham mukammal kvadrat bo'lishini aytadi. Shunday qilib, 400 ning kub omillari 25 va 16 chunki 25 × 16 = 400.
   • Biz buni quyidagicha yozamiz: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
2. Ikkinchi kuch omillarining kvadrat ildizlarini oling. Kvadrat ildizlarning mahsulot qoidasida har qanday berilgan son uchun deyilgan a va b, Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Ushbu xususiyat tufayli endi kvadratlar omillarining kvadrat ildizlarini olib, ularni ko'paytirib, javob olishimiz mumkin.
   • Bizning misolimizda biz 25 va 16 kvadrat ildizlarni olamiz. Quyiga qarang:
     • Sqrt (25 × 16)
     • Sqrt (25) × Sqrt (16)
     • 5 × 4 = 20
3. Agar sizning raqamingizni to'liq aniqlab bo'lmaydigan bo'lsa, uni soddalashtiring. Darhaqiqat, kvadratlarning ildizlarini aniqlamoqchi bo'lgan raqamlar 400 ga teng kvadratchalar bilan yaxlitlangan raqamlar bo'lmaydi. Bunday holatlarda javob sifatida butun sonni olishning iloji bo'lmasligi mumkin. Buning o'rniga, topishingiz mumkin bo'lgan barcha kuch omillaridan foydalanib, siz javobni kichikroq, foydalanishda osonroq kvadrat ildiz sifatida aniqlay olasiz. Siz buni raqamni quvvat omillari va boshqa omillarning kombinatsiyasiga kamaytirish va keyin soddalashtirish orqali amalga oshirasiz.
   • Biz misol sifatida 147 kvadrat ildizini olamiz. 147 ikkita mukammal kvadratning hosilasi emas, shuning uchun biz yaxshi tamsayı qiymatini ololmaymiz. Ammo bu mukammal kvadrat va boshqa raqamlarning hosilasi - 49 va 3. Biz ushbu ma'lumotdan javobimizni eng oddiy so'zlar bilan yozish uchun foydalanishimiz mumkin:
     • Sqrt (147)
     • = Sqrt (49 × 3)
     • = Sqrt (49) × Sqrt (3)
     • = 7 × Sqrt (3)
4. Agar kerak bo'lsa, soddalashtiring. Kvadrat ildizdan eng oddiy so'zlar bilan foydalanib, qolgan kvadrat ildizlarni taxmin qilish va ularni ko'paytirish orqali javobning taxminiy bahosini olish odatda juda oson. O'z taxminlaringizni yaxshilashning usullaridan biri bu kvadrat ildizingizda raqamning ikkala tomonida mukammal kvadratlarni topishdir. Sizning kvadrat ildizingizdagi raqamning o'nlik qiymati bu ikki raqam o'rtasida joylashganligini bilasiz, shuning uchun sizning taxminingiz shu raqamlar orasida bo'lishi kerak.
   • Keling, bizning misolimizga qaytaylik. 2 = 4 va 1 = 1 bo'lganligi sababli, biz Sqrt (3) ning 1 va 2 orasida bo'lishini bilamiz - ehtimol 1dan 2 ga yaqinroq. Biz 1,7 ga teng deb hisoblaymiz. 7 × 1,7 = 11,9. Agar buni kalkulyator yordamida tekshirib ko'rsak, biz javobga juda yaqin ekanligimizni ko'ramiz: 12,13.
     • Bu ham katta raqamlar uchun ishlaydi. Masalan, sqrt (35) taxminan 5 dan 6 gacha (ehtimol 6 ga yaqinroq). 5 = 25 va 6 = 36.35 25 dan 36 gacha, shuning uchun kvadrat ildiz 5 dan 6 gacha bo'ladi. 35-dan 36-dan sal pastroq bo'lganligi sababli, uning kvadrat ildizi deb ishonch bilan aytishimiz mumkin faqat 6 dan kam. Kalkulyator yordamida tekshirish bizga 5.92 ga javob beradi - biz haq edik.
5. Shu bilan bir qatorda, birinchi qadam sifatida raqamni ga soddalashtirishingiz mumkin eng kichik umumiy ko'plik. Agar raqamning asosiy omillarini osongina topsangiz (bir vaqtning o'zida asosiy sonlar bo'lgan omillar), kuch omillarini izlash shart emas. Raqamni eng kichik umumiy ko'paytma bilan yozing. So'ngra juft sonlarni bir-biriga mos keladigan omillarni qidirib toping. Bir-biriga mos keladigan ikkita asosiy omilni topsangiz, ularni kvadrat ildizdan va joydan olib tashlang a kvadrat ildiz belgisidan tashqaridagi bu raqamlardan.
   • Masalan, biz ushbu usul yordamida 45 ning kvadrat ildizini aniqlaymiz. Biz 45 = 9 × 5 va 9 = 3 × 3. ekanligini bilamiz, shuning uchun kvadrat ildizni shunday yozishimiz mumkin: Sqrt (3 × 3 × 5). Soddalashtirilgan kvadrat ildizni olish uchun shunchaki 3-larni o'chiring va kvadratchani ildizning tashqarisiga 3 qo'ying. (3) Sqrt (5). Endi siz osongina taxmin qilishingiz mumkin.
   • Yakuniy misol; 88 ning kvadrat ildizini aniqlaymiz:
     • Srt (88)
     • = Sqrt (2 × 44)
     • = Sqrt (2 × 4 × 11)
     • = Sqrt (2 × 2 × 2 × 11). Bizning kvadrat ildizimizda bir nechta 2 mavjud. 2 asosiy bo'lganligi sababli, biz juftlikni olib tashlashimiz va ildizning tashqarisiga 2 ni qo'yishimiz mumkin.
     • = Bizning kvadrat ildizimiz eng sodda qilib aytganda (2) Sqrt (2 × 11) yoki (2) Sqrt (2) Sqrt (11). Endi biz xohlasak, Sqrt (2) va Sqrt (11) ga yaqinlashib, taxminiy javobni topishimiz mumkin.

2-dan 2-usul: Kalkulyatorsiz kvadrat ildizlarni topish

Uzoq bo'linish bilan

1. Raqamingizning raqamlarini juftlarga ajrating. Ushbu usul uzoq bo'linishga o'xshaydi, bu sizni ajratishga imkon beradi aniq raqamli raqamning kvadrat ildizi. Muhim bo'lmasa ham, raqamni ishlaydigan qismlarga ajratish, ayniqsa, uzoq bo'lsa, echishni osonlashtirishi mumkin. Dastlab ish maydonini 2 maydonga bo'linadigan vertikal chiziqni, so'ngra o'ng tomonning yuqori qismiga yaqinroq qilib, uni kichikroq yuqori qismga va pastroqda katta qismga bo'ling. Keyin sonni kasrdan boshlab, raqamlarni juft raqamlarga ajrating. Ushbu qoidaga binoan 79520789182.47897 "7 95 20 78 91 82.47 89 70" ga aylanadi. Ushbu raqamni yuqori chap qismga yozing.
   • Misol tariqasida 780.14 kvadrat ildizini hisoblaymiz. Ish joyingizni yuqoridagi kabi taqsimlang va yuqori chap burchakda "7 80, 14" deb yozing. Agar chap tomonda ikkitaning o'rniga bitta raqam bo'lsa yaxshi bo'ladi. Keyin javobni (780.14 kvadrat ildiz) o'ng maydonning yuqori qismiga yozasiz.
2. Eng katta butun sonni toping n uning kvadrati eng chapdagi raqam yoki songa teng yoki unga teng. Ushbu songa teng yoki unga teng bo'lmagan eng katta kvadratni toping va keyin bu kvadratning kvadrat ildizini toping. Bu raqam n. Buni yuqori o'ng maydonga yozing va shu maydonning pastki kvadrantiga n kvadratini yozing.
   • Bizning misolimizda eng chapdagi raqam 7 raqami bo'lib, biz 2 = 4 ≤ 7 3 = 9 ekanligini bilamiz, chunki biz n = 2 deb ayta olamiz, chunki bu kvadrat 7 dan kichik yoki unga teng bo'lgan eng katta butun son. Yuqoridagi to'rtburchakda 2 ni yozing. Bu javobning birinchi raqami. O'ng pastki kvadrantga 4 (2 kvadrat) yozing. Ushbu raqam keyingi qadam uchun muhimdir.
3. Hisoblagan raqamingizni chiqarib tashlang eng chap raqam yoki raqam. Uzoq bo'linishda bo'lgani kabi, keyingi qadam biz hisoblash uchun foydalangan sondan kvadratni olib tashlashdir. Ushbu raqamni chap tomondagi raqam ostida yozing va ularni ayting. Javobni quyida yozing.
   • Bizning misolimizda biz 7 dan 4 gacha yozamiz va uni olib tashlaymiz. Bu beradi 3 javoban.
4. Keyingi raqamni pastga siljiting. Buni avvalgi tahrirda topilgan qiymat yoniga qo'ying. Yuqoridagi o'ngdagi sonni ikkiga ko'paytiring va o'ng pastki qismga yozing. Siz yozgan raqamning yonida keyingi bosqichda bajaradigan summa uchun bo'sh joy qoldiring. Bu erda "_ × _ =" "yozing.
   • Bizning misolimizda keyingi raqam "80". Chap kvadrantdagi 3-ning yoniga "80" yozing. Keyin yuqori o'ngdagi sonni 2 ga ko'paytiring. Bu raqam 2 ga teng, shuning uchun 2 × 2 = 4. O'ng pastki qismga "" 4 "" yozing, so'ngra _×_=.
5. O'ngdagi raqamlarni kiriting. Jami bo'sh joyga (o'ngda) o'ngdagi ko'paytma yig'indisi natijasini chapdagi joriy sondan kam yoki unga tenglashtiradigan eng katta butun sonni kiriting.
   • Bizning misolimizda biz 8 ni kiritamiz va bu 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384 ni beradi. Bu 380 dan katta. Shunday qilib, 8 juda katta, ammo 7 ehtimol emas. 7 ni to'ldiring va eching: 4 (7) × 7 = 329. 7 yaxshi, chunki 329 380 dan kam. Yuqorida o'ng tomonga 7 ni yozing. Bu 780.14 kvadrat ildizidagi ikkinchi raqam.
6. Chapdagi joriy raqamdan hozirgina hisoblagan raqamingizni chiqaring. Shunday qilib, chapdagi hozirgi javobdan o'ngdagi ko'paytma natijasini olib tashlaysiz. Javobingizni to'g'ridan-to'g'ri uning ostiga yozing.
   • Bizning misolimizda biz 329ni 380 dan chiqaramiz va bu beradi 51 Natijada.
7. 4-bosqichni takrorlang. Keyingi juft juftlikni 780.14 dan pastga siljiting. Vergulga kelganingizda, o'ngdagi javobga ushbu vergulni yozing. Keyin o'ng tomondagi sonni 2 ga ko'paytiring va javobni ("_ × _") yoniga yuqoridagi kabi yozing.
   • Javobimizga endi vergul yozamiz, chunki biz buni 780.14 da uchratamiz. Keyingi juftlikni (14) chap kvadrantdan pastga siljiting. 27 x 2 = 54, shuning uchun biz pastki o'ng kvadrantda "54 _ × _ =" yozamiz.
8. 5 va 6-bosqichlarni takrorlang. Chapdagi joriy sondan kam yoki unga teng bo'lgan javob beradigan eng katta sonni toping. Hal qiling.
   • Bizning misolimizda 549 × 9 = 4941, bu chapdagi raqamdan kam yoki unga teng (5114). 549 × 10 = 5490, bu juda baland, shuning uchun 9 bizning javobimiz. Keyingi yuqori o'ng raqam sifatida 9ni yozing va chap sondan ko'paytirish natijasini chiqaring: 5114 -4941 = 173.
9. Natija aniq bo'lishi uchun kerakli o'nli kasrlar soni (yuzinchi, minginchi) bilan javob topguncha avvalgi protsedurani takrorlang.

Jarayonni tushunib oling

1. Kvadrat ildizini kvadratning S maydoni sifatida hisoblamoqchi bo'lgan sonni ko'rib chiqing. Kvadratning maydoni L bo'lgani uchun, bu erda L uning tomonlaridan birining uzunligi, shuning uchun sizning raqamingizning kvadrat ildizini topib, shu kvadrat tomonining L uzunligini hisoblashga harakat qilasiz.
2. Javobingizning har bir raqamiga xat bering. A o'zgaruvchini L ning birinchi raqami sifatida kiriting (biz hisoblashmoqchi bo'lgan kvadrat ildiz). B - ikkinchi raqam, C - uchinchi va boshqalar.
3. Boshlagan raqamingizning har bir "juft soniga" harf bering. S o'zgaruvchisini bering_a S (boshlang'ich qiymati) S raqamlarining birinchi juftligiga_b raqamlarning ikkinchi juftligiga va boshqalar.
4. Ushbu usul va uzoq bo'linish o'rtasidagi munosabatni tushunib oling. Kvadrat ildizni topishning bu usuli mohiyatan uzoq bo'linish bo'lib, unda boshlang'ich qiymatni uning kvadrat ildiziga ajratasiz va javob sifatida kvadrat ildizni "berasiz". Sizni bir vaqtning o'zida faqat keyingi raqam qiziqtiradigan uzoq bo'linishda bo'lgani kabi, sizni bir vaqtning o'zida faqat keyingi ikkita raqam qiziqtiradi (bu kvadrat ildizning keyingi raqamiga mos keladi).
5. Kvadratchasi S ga teng yoki unga teng bo'lgan eng katta sonni toping._a bu. Bizning javobimizdagi birinchi raqam A, keyin kvadrat S dan katta bo'lmagan eng katta butun son._a (A² ≤ Sa (A + 1) ² ga teng). Bizning misolimizda S_a = 7, va 2² ≤ 7 3², shuning uchun A = 2.
   • E'tibor bering, agar siz uzoq bo'linish yordamida 88962 raqamini 7 ga bo'lsangiz, birinchi qadam teng bo'ladi: avval siz 88962 (8) birinchi raqam bilan muomala qilasiz va eng katta raqam 8 ga teng yoki 7 ga ko'paytirilishini xohlaysiz. Aslida siz aniqlash d shunday qilib 7 × d-8 7 × (d + 1). Bunday holda, d 1 ga teng.
6. Maydonini topmoqchi bo'lgan kvadratni ingl. Sizning javobingiz, boshlang'ich qiymatning kvadrat ildizi L bo'lib, u S maydoni (boshlang'ich qiymati) bo'lgan kvadrat uzunligini tavsiflaydi. A, B va C qiymatlari L qiymatidagi raqamlarni aks ettiradi. Buni aytishning yana bir usuli shundaki, 2 xonali javob uchun 10A + B = L va 3 xonali javob uchun 100A + 10B + C = L va boshqalar.
   • Bizning misolimizda (10A + B) ² = L = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Shuni esda tutingki, 10A + B bizning javobimiz L ni birliklar holatida B bilan, A esa o'nlik holatida ifodalaydi. Masalan, A = 1 va B = 2 bo'lsa, u holda 10A + B 12 raqami. (10A + B) ² butun kvadratning maydoni, esa 100A² eng katta ichki maydonning maydoni, B² eng kichik kvadratning maydoni va 10A × B qolgan to'rtburchaklar har birining maydoni. Ushbu uzoq va murakkab protsedura orqali biz butun kvadrat maydonini uning tarkibiga kiradigan kvadratchalar va to'rtburchaklar maydonlarini qo'shib topishimiz mumkin.
7. S dan A²ni olib tashlang._a. Bir juft raqamni keltiring (S._b) S. S sonidan pastga._a S._b kvadratning deyarli umumiy maydoni bo'lib, undan faqat eng katta ichki maydonning maydonini olib tashladingiz. Qolganlari, masalan, 4-bosqichda olingan N1 raqami (bizning misolimizda N1 = 380). N1 2 × 10A × B + B² ga teng (2 ta to'rtburchakning maydoni va kichik kvadratning maydoni).
8. N1 = 2 × 10A × B + B² ga qarang, shuningdek N1 = (2 × 10A + B) × B sifatida yozilgan. Bizning misolimizda siz allaqachon N1 (380) va A (2) ni bilasiz, shuning uchun endi B ni topishingiz kerak. B, ehtimol, butun son emas, shuning uchun kerak aslida (2 × 10A + B) × B-N1 ga teng bo'lgan eng katta B sonini toping. Endi sizda: N1 (2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)
9. Tenglamani eching. Ushbu tenglamani echish uchun A ni 2 ga ko'paytiring, o'nga o'tkazing (10 ga ko'paytiring), B ni birliklarga qo'ying va natijani B ga ko'paytiring Boshqacha qilib aytganda (2 × 10A + B) × B. 4-bosqichda o'ng pastki kadranda "N_ × _ =" (N = 2 × A bilan) yozganda nima qilasiz, 5-bosqichda siz chiziq ostiga to'g'ri keladigan eng katta B sonini aniqlaysiz, shuning uchun (2 × 10A + B) × B-N1.
10. Umumiy maydondan (2 × 10A + B) × B maydonni olib tashlang. Bu S- (10A + B) ² maydonni siz hali hisobga olmagan (va quyidagi raqamlarni xuddi shu tarzda hisoblashda foydalanadigan) maydonni beradi.
11. Keyingi C raqamini hisoblash uchun protsedurani takrorlang. Keyingi juft juftlarni S dan pastga siljiting (S_v) N2 ni chap tomonga ko'taring va eng katta C ni toping, shunda sizda shunday bo'ladi: (2 × 10 × (10A + B) + C) × C-N2 ("AB" ikki xonali sonining ikki baravariga teng) "_ × _ =" bo'yicha Endi bu erga kiritishingiz mumkin bo'lgan eng katta raqamni aniqlang, bu sizga N2 dan kam yoki teng bo'lgan javobni beradi.

Maslahatlar

• Vergulni ikki o'ringa siljitish (100 omil) mos keladigan kvadrat ildizdagi vergulni bir joyga (10 koeffitsient) siljitadi.
• Masalan, 1.73 ni "qoldiq" deb hisoblash mumkin: 780.14 = 27.9² + 1.73.
• Ushbu usul faqat o'nlik (o'nlik) tizim uchun emas, balki har qanday sanoq tizimi uchun ishlaydi.
• Hisob-kitoblarni xohlagan joyingizga joylashtiring. Ba'zi odamlar buni kvadratning ildizini hisoblashni istagan sonning ustiga yozadilar.
• Muqobil usul quyidagilar: dz = √ (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + ...))). Masalan, 780.14 kvadrat ildizni hisoblash uchun uning kvadrati 780.14 (28) ga yaqin bo'lgan butun sonni oling, shuning uchun = 780.14, x = 28 va y = -3.86. To'ldirish va taxmin qilish bizga x + y / (2x) beradi va bu (soddalashtirilgan atamalar) 78207/2800 yoki taxminan 27.931 (1) ni beradi; keyingi muddat, 4374188/156607 yoki taxminan 27.930986 (5). Har bir muddat oldingisiga taxminan 3 ta aniqlik sonini qo'shadi.

Ogohlantirishlar

• Raqamni o'nli kasrdan juftlarga bo'lishiga ishonch hosil qiling. 79520789182.47897 raqamini "79 52 07 89 18 ga bo'lish 2,4 78 97 "noto'g'ri natija beradi.