Tarkib

• Qadam bosish

Trigonometrik tenglama bu o'zgaruvchan trigonometrik egri chizig'ining bir yoki bir nechta trigonometrik funktsiyalari bo'lgan tenglama. X uchun yechish trigonometrik funktsiyalari trigonometrik tenglamani to'g'ri bo'lishiga olib keladigan trigonometrik egri chiziqlarining qiymatlarini topishni anglatadi.

• Eritma egri chiziqlarining javoblari yoki qiymatlari daraja yoki radian bilan ifodalanadi. Misollar:

x = Pi / 3; x = 5Pi / 6; x = 3Pi / 2; x = 45 daraja; x = 37,12 daraja; x = 178,37 daraja

• Izoh: birlik aylanasida har qanday egri chiziqning trigonometrik funktsiyalari mos burchakning trigonometrik funktsiyalariga teng. Birlik doirasi o'zgaruvchan egri x ning barcha trigonometrik funktsiyalarini aniqlaydi. Bundan tashqari, asosiy trigonometrik tenglamalar va tengsizliklarni echishda isbot sifatida ishlatiladi.
• Trigonometrik tenglamalarga misollar:
  • sin x + sin 2x = 1/2; tan x + karyola x = 1.732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sinf 2x + cos x = 1.

1. Birlik doirasi.
   • Bu Radius = 1 bo'lgan aylana, bu erda O kelib chiqishi. Birlik doirasi x o'zgaruvchan egri chizig'ining 4 ta asosiy trigonometrik funktsiyasini belgilaydi, bu esa uni soat sohasi farqli ravishda aylantiradi.
   • X qiymati egri chiziq birlik doirasiga qarab o'zgarganda, quyidagicha bo'ladi:
   • OAx gorizontal o'qi trigonometrik funktsiyani belgilaydi f (x) = cos x.
   • VB vertikal o'qi trigonometrik funktsiyani f (x) = sin x belgilaydi.
   • Vertikal o'q AT trigonometrik funktsiyani belgilaydi f (x) = tan x.
   • BU gorizontal o'qi trigonometrik funktsiyani f (x) = cot x belgilaydi.

• Birlik doirasi, shuningdek, x egri chizig'ining aylana ustidagi har xil pozitsiyalarini hisobga olgan holda asosiy trigonometrik tenglamalarni va standart trigonometrik tengsizlikni echish uchun ishlatiladi.

Qadam bosish

1. Yechish usulini tushunib oling.
   • Trigonometrik tenglamani echish uchun uni bir yoki bir nechta asosiy trigonometrik tenglamalarga aylantirasiz. Trigonometrik tenglamalarni echishda oxir-oqibat 4 ta asosiy trigonometrik tenglamani echishga erishiladi.
2. Asosiy trigonometrik tenglamalarni echishni biling.
   • 4 ta asosiy trigonometrik tenglama mavjud:
   • gunoh x = a; cos x = a
   • tan x = a; yotoq x = a
   • Trigonometrik doiradagi x egri chizig'ining har xil pozitsiyalarini o'rganish va trigonometrik konversiya jadvali (yoki kalkulyator) yordamida asosiy trigonometrik tenglamalarni echishingiz mumkin. Ushbu va shunga o'xshash asosiy trigonometrik tenglamalarni qanday echish kerakligini to'liq tushunish uchun quyidagi kitobni o'qing: "Trigonometriya: Trigonometrik tenglamalar va tengsizliklarni echish" (Amazon elektron kitobi 2010).
   • Misol 1. sin x = 0.866 uchun eching. Konvertatsiya jadvali (yoki kalkulyator) javob beradi: x = Pi / 3. Trigonometrik doira sinus uchun bir xil qiymatga ega bo'lgan yana bir egri chiziqni (2Pi / 3) beradi (0.866). Trigonometrik doirada kengaytirilgan javoblar deb nomlangan javoblarning cheksizligi ham mavjud.
   • x1 = Pi / 3 + 2k.Pi va x2 = 2Pi / 3. (Bir muddat ichida javoblar (0, 2Pi))
   • x1 = Pi / 3 + 2k Pi, va x2 = 2Pi / 3 + 2k Pi. (Batafsil javoblar).
   • Misol 2. Yeching: cos x = -1/2. Kalkulyatorlar x = 2 Pi / 3 ni beradi. Trigonometrik aylana x = -2Pi / 3 ni ham beradi.
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi va x2 = - 2Pi / 3. (Davr uchun javoblar (0, 2Pi))
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k Pi, va x2 = -2Pi / 3 + 2k.Pi. (Kengaytirilgan javoblar)
   • Misol 3. Yeching: tan (x - Pi / 4) = 0.
   • x = Pi / 4; (Javob)
   • x = Pi / 4 + k Pi; (Kengaytirilgan javob)
   • Misol 4. Yeching: karyola 2x = 1.732. Kalkulyatorlar va trigonometrik doira quyidagilarni beradi:
   • x = Pi / 12; (Javob)
   • x = Pi / 12 + k Pi; (Kengaytirilgan javoblar)
3. Trigonometrik tenglamalarni echishda ishlatiladigan transformatsiyalarni o'rganing.
   • Berilgan trigonometrik tenglamani standart trigonometrik tenglamalarga aylantirish uchun standart algebraik konversiyalardan (faktorizatsiya, umumiy omil, polinomlar ...), trigonometrik funktsiyalarning ta'riflari va xususiyatlaridan va trigonometrik identifikatsiyalardan foydalaning. Taxminan 31, 14tasi trigonometrik identifikatorlar, 19 dan 31 gacha, shuningdek transformatsiya identifikatsiyalari deb nomlanadi, chunki ular trigonometrik tenglamalarni konversiyalashda ishlatiladi. Yuqoridagi kitobga qarang.
   • 5-misol: Trigonometrik tenglama: sin x + sin 2x + sin 3x = 0, trigonometrik identifikatorlar yordamida asosiy trigonometrik tenglamalar mahsulotiga aylantirilishi mumkin: 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Yechish kerak bo'lgan asosiy trigonometrik tenglamalar: cos x = 0; gunoh (3x / 2) = 0; va cos (x / 2) = 0.
4. Trigonometrik funktsiyalar ma'lum bo'lgan egri chiziqlarni toping.
   • Trigonometrik tenglamalarni echishni o'rganishdan oldin, trigonometrik funktsiyalar ma'lum bo'lgan egri chiziqlarni tezda topishni bilishingiz kerak. Egri chiziqlarning (yoki burchaklarning) konversiya qiymatlari trigonometrik jadvallar yoki kalkulyator yordamida aniqlanishi mumkin.
   • Misol: cos x = 0.732 uchun yechim. Kalkulyator eritmani x = 42,95 daraja beradi. Birlik doirasi kosinus uchun bir xil qiymatga ega bo'lgan boshqa egri chiziqlarni beradi.
5. Javobning yoyini birlik doirasiga torting.
   • Siz birlik doirasidagi echimni tasvirlash uchun grafik yaratishingiz mumkin. Ushbu egri chiziqlarning so'nggi nuqtalari trigonometrik doiradagi muntazam ko'pburchaklardir. Ba'zi misollar:
   • Egri chiziqning so'nggi nuqtalari x = Pi / 3 + k.Pi / 2 birlik doirasidagi kvadrat.
   • X = Pi / 4 + k.Pi / 3 egri chiziqlari birlik doirasidagi olti burchakning koordinatalari bilan ifodalanadi.
6. Trigonometrik tenglamalarni echishni o'rganing.
   • Agar berilgan trigonometrik tenglamada faqat bitta trigonometrik funktsiya bo'lsa, uni standart trigonometrik tenglama sifatida eching. Agar berilgan tenglama ikki yoki undan ortiq trigonometrik funktsiyani o'z ichiga olsa, tenglamani konvertatsiya qilish variantlariga qarab 2 ta yechish usuli mavjud.
     • A. 1-usul.
   • Trigonometrik tenglamani shaklning ko'paytmasiga aylantiring: f (x) .g (x) = 0 yoki f (x) .g (x) .h (x) = 0, bu erda f (x), g (x) va h (x) - bu asosiy trigonometrik tenglamalar.
   • Misol 6. Yeching: 2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2Pi)
   • Qaror. Identifikatsiyadan foydalanib, tenglamadagi sin 2x o'rnini almashtiring: sin 2x = 2 * sin x * cos x.
   • cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Keyin ikkita standart trigonometrik funktsiyani eching: cos x = 0, va (sin x + 1) = 0.
   • Misol 7. Yeching: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2Pi)
   • Yechish: trigonometrik identifikatorlardan foydalanib, mahsulotga aylantiring: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Endi ikkita asosiy trigonometrik tenglamani eching: cos 2x = 0 va (2cos x + 1) = 0.
   • Misol 8. Yeching: sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2Pi)
   • Yechish: Buni trigonometrik identifikatorlardan foydalanib mahsulotga aylantiring: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Endi ikkita asosiy trigonometrik tenglamani eching: cos 2x = 0 va (2sin x + 1) = 0.
     • B. 2-yondashuv.
   • Trig tenglamasini o'zgarmaydigan sifatida faqat bitta noyob trig funktsiyasi bilan trig tenglamasiga aylantiradi. Muvofiq o'zgaruvchini qanday tanlash haqida ba'zi maslahatlar mavjud. Umumiy o'zgaruvchilar: sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t va tan (x / 2) = t.
   • Misol 9. Yeching: 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2Pi).
   • Qaror. Tenglamada (cos ^ 2x) ni (1 - sin ^ 2x) bilan almashtiring va tenglamani soddalashtiring:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Endi sin x = t dan foydalaning. Tenglama quyidagicha bo'ladi: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Bu 2 ta ildizi bo'lgan kvadrat tenglama: t1 = -1 va t2 = 9/5. Ikkinchi t2 ni rad etishimiz mumkin, chunki> 1. Endi quyidagilarni eching: t = sin = -1 -> x = 3Pi / 2.
   • Misol 10. Yeching: tan x + 2 tan ^ 2 x = yotoq x + 2.
   • Qaror. Tan x = t dan foydalaning. Berilgan tenglamani o'zgaruvchisi sifatida t bo'lgan tenglamaga aylantiring: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Ushbu hosiladan t uchun yeching, so'ngra x uchun tan x = t standart trigonometrik tenglamasini eching.
7. Maxsus trigonometrik tenglamalarni eching.
   • Muayyan konversiyani talab qiladigan bir nechta maxsus trigonometrik tenglamalar mavjud. Misollar:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. Trigonometrik funktsiyalarning davriy xususiyatlarini bilib oling.
   • Barcha trigonometrik funktsiyalar davriydir, demak, ular davr davomida aylanishdan so'ng yana bir xil qiymatga qaytadilar. Misollar:
     • F (x) = sin x funktsiyasi davr sifatida 2Pi ga ega.
     • F (x) = tan x funktsiyasi nuqta sifatida Pi ga ega.
     • F (x) = sin 2x funktsiyasi nuqta sifatida Pi ga ega.
     • F (x) = cos (x / 2) funktsiyasi davr sifatida 4Pi ga ega.
   • Agar mashqlar / testlarda muddat ko'rsatilgan bo'lsa, unda faqat shu davr ichida x egri chiziq (lar) ni topish kerak.
   • Izoh: trigonometrik tenglamalarni echish juda hiyla-nayrang va ko'pincha xato va xatolarga olib keladi. Shuning uchun javoblar diqqat bilan tekshirilishi kerak. Yechilgandan so'ng, berilgan trigonometrik tenglamani to'g'ridan-to'g'ri aks ettirish uchun grafik kalkulyator yordamida tekshirishingiz mumkin R (x) = 0. Javoblar (kvadrat ildiz sifatida) o'nli kasrlarda berilgan. Misol tariqasida Pi 3.14 qiymatiga ega