Tarkib

• Qadam bosish
• 3-dan 1-usul: almashtirish usulidan foydalanish
• 3-dan 2-usul: eliminatsiya usulidan foydalanish
• 3 dan 3-usul: Tenglamalarni grafika qiling
• Maslahatlar
• Ogohlantirishlar

"Tenglamalar tizimi" da sizdan bir vaqtning o'zida ikki yoki undan ortiq tenglamani echish so'raladi. Agar bu ikkalasida x va y, yoki a va b kabi turli xil o'zgaruvchilar mavjud bo'lsa, ularni qanday hal qilishni bir qarashda ko'rish qiyin bo'ladi. Yaxshiyamki, nima qilishni bilganingizdan so'ng, muammoni hal qilish uchun sizga matematikaning ba'zi bir dastlabki ko'nikmalari (va ba'zida ba'zi kasr ma'lumotlari) kerak bo'ladi. Agar kerak bo'lsa, yoki siz vizual talaba bo'lsangiz, tenglamalarni qanday grafikalashni o'rganing. Grafikni chizish (chizish) "nima bo'layotganini ko'rish" yoki ishingizni tekshirish uchun foydali bo'lishi mumkin, lekin u boshqa usullarga qaraganda sekinroq bo'lishi mumkin va u barcha tenglama tizimlarida ishlamaydi.

Qadam bosish

3-dan 1-usul: almashtirish usulidan foydalanish

1. O'zgaruvchanlarni tenglamaning turli tomonlariga o'tkazing. Ushbu "almashtirish" usuli tenglamalardan biridagi "x uchun echim" (yoki boshqa har qanday o'zgaruvchini) bilan boshlanadi. Masalan, bizda quyidagi tenglamalar mavjud: 4x + 2y = 8 va 5x + 3x = 9. Avvalo, biz birinchi taqqoslashni ko'rib chiqamiz. Ikkala tomondan 2yni olib tashlab, tartibga soling va quyidagilarga erishasiz: 4x = 8-2y.
   • Ushbu usul ko'pincha keyingi bosqichda fraktsiyalardan foydalanadi. Agar siz fraktsiyalar bilan ishlamaslikni ma'qul ko'rsangiz, quyida olib tashlash usulidan foydalanishingiz mumkin.
2. Tenglamaning ikkala tomonini ham «x» ga yechish uchun ajrating. Tenglamaning bir tomonida x atamasi (yoki siz foydalanadigan har qanday o'zgaruvchini) qo'lga kiritgandan so'ng, o'zgaruvchini ajratish uchun tenglamaning ikkala tomonini ajratib oling. Masalan; misol uchun:
   • 4x = 8-2y
   • (4x) / 4 = (8/4) - (2y / 4)
   • x = 2 - ½y
3. Buni boshqa tenglamaga ulang. Ga qaytganingizga ishonch hosil qiling Boshqalar taqqoslash, siz allaqachon ishlatgan emas. Ushbu tenglamada siz o'zingiz hal qilgan o'zgaruvchini almashtirasiz va faqat bitta o'zgaruvchini qoldirasiz. Masalan; misol uchun:
   • Siz endi buni bilasiz: x = 2 - ½y.
   • Siz hali o'zgartirmagan ikkinchi tenglama: 5x + 3x = 9.
   • Ikkinchi tenglamada x ni "2 - ½y" bilan almashtiring: 5 (2 - ½y) + 3y = 9.
4. Qolgan o'zgaruvchini eching. Endi sizda bitta o'zgaruvchiga ega bo'lgan tenglama mavjud. Ushbu o'zgaruvchini hal qilish uchun umumiy algebra usullaridan foydalaning. Agar o'zgaruvchilar bir-birini bekor qilsa, oxirgi bosqichga o'ting. Aks holda, o'zgaruvchilardan biriga javob berasiz:
   • 5 (2 - ½y) + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Agar siz ushbu bosqichni tushunmasangiz, kasrlarni qanday qo'shishni o'rganing. Bu usul bilan ko'pincha, lekin har doim ham kerak emas).
   • 10 + yy = 9
   • Y = -1
   • y = -2
5. Boshqa o'zgaruvchiga javob berish uchun javobdan foydalaning. Muammoni yarim yo'lda tugatishda xato qilmang. Dastlabki tenglamalardan biriga javobingizni qayta kiritishingiz kerak, shunda siz boshqa o'zgaruvchiga echim topishingiz mumkin:
   • Siz endi buni bilasiz: y = -2
   • Asl tenglamalardan biri: 4x + 2y = 8. (Ushbu qadam uchun ikkala tenglamadan foydalanish mumkin).
   • Y o'rniga -2 ulang: 4x + 2 (-2) = 8.
   • 4x - 4 = 8
   • 4x = 12
   • x = 3
6. Agar ikkala o'zgaruvchi bir-birini bekor qilsa nima qilish kerakligini biling. Qachonki x = 3y + 2 yoki boshqa tenglamada shunga o'xshash javobni olsangiz, siz faqat bitta o'zgaruvchiga ega bo'lgan tenglamani olishga harakat qilasiz. Ba'zan buning o'rniga tenglama bilan yakun topasiz holda o'zgaruvchilar. Ishingizni ikki marta tekshiring va birinchi tenglamani emas, balki ikkinchi tenglamada (qayta tashkil etilgan) birinchi tenglamani almashtirganingizga ishonch hosil qiling. Agar siz xato qilmaganingizga amin bo'lsangiz, quyidagi natijalardan birini qo'lga kiritasiz:
   • Agar siz o'zgaruvchisiz tenglamani topsangiz va bu noto'g'ri bo'lsa (masalan, 3 = 5), unda sizda muammo bor echim yo'q. (Agar siz tenglamalarni chizgan bo'lsangiz, ular parallel va hech qachon kesishmasligini ko'rasiz).
   • Agar o'zgaruvchisiz tenglama bo'lsa, lekin ular yaxshi to'g'ri (masalan, 3 = 3), unda u muammoga duch keladi echimlarning cheksiz ko'pligi. Ikkala tenglama to'liq tengdir. (Agar siz ikkita tenglamani grafikada ko'rsangiz, ular to'liq bir-biriga to'g'ri kelishini ko'rasiz).

3-dan 2-usul: eliminatsiya usulidan foydalanish

1. Yo'q qilinadigan o'zgaruvchini aniqlaydi. Ba'zan tenglamalar birlashtirgandan so'ng, bir-birini o'zgaruvchida "yo'q qiladi". Masalan, siz tenglamalarni bajarganingizda 3x + 2y = 11 va 5x - 2y = 13 kombaynlar, "+ 2y" va "-2y" bir-birini bekor qiladi, barchasi "y" bilanlar tenglamadan chiqarib tashlangan. O'zgaruvchilardan birortasi shu tarzda yo'q qilinishini bilish uchun muammoning tenglamalarini ko'rib chiqing. Agar o'zgaruvchilarning hech biri o'chirilmasa, maslahat uchun keyingi bosqichga o'ting.
2. O'zgaruvchini bekor qilish uchun tenglamani ko'paytiring. (Agar o'zgaruvchilar bir-birini yo'q qilgan bo'lsa, ushbu qadamni o'tkazing). Agar tenglamalardagi o'zgaruvchilarning hech biri o'z-o'zidan bekor qilinmasa, unda siz tenglamalardan birini o'zgartirishi kerak. Buni misol bilan tushunish eng oson:
   • Sizda tenglamalar tizimi mavjud deylik 3x - y = 3 va -x + 2y = 4.
   • Birinchi tenglamani o'zgaruvchisi shunday qilib o'zgartiramiz y yo'q qilinadi. (Siz buni buning uchun ham qilishingiz mumkin X qiling va bir xil javobni oling).
   • The - y " birinchi tenglamani + 2y Ikkinchi tenglamada. Biz buni qila olamiz - y 2 ga ko'paytiring.
   • Birinchi tenglamaning ikkala tomonini quyidagicha 2 ga ko'paytiramiz: 2 (3x - y) = 2 (3)va shunday qilib 6x - 2y = 6. Endi qiladi - 2y ga qarshi yiqilish + 2y ikkinchi tenglamada.
3. Ikkala tenglamani birlashtiring. Ikkala tenglamani birlashtira olish uchun chap va o'ng tomonlarni birlashtiring. Agar siz tenglamani to'g'ri yozgan bo'lsangiz, o'zgaruvchilardan biri boshqasiga nisbatan bekor qilinishi kerak. Oxirgi qadam bilan bir xil tenglamalardan foydalanadigan misol:
   • Sizning tenglamalaringiz: 6x - 2y = 6 va -x + 2y = 4.
   • Chap tomonlarni birlashtiring: 6x - 2y - x + 2y =?
   • O'ng tomonlarni birlashtiring: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
4. Oxirgi o'zgaruvchini eching. Birlashtirilgan tenglamani soddalashtiring va oxirgi o'zgaruvchini echish uchun asosiy algebradan foydalaning. Agar soddalashtirilganidan keyin o'zgaruvchilar qolmasa, ushbu bo'limning oxirgi bosqichiga o'ting. Aks holda, o'zgaruvchilardan biriga oddiy javob bilan yakunlashingiz kerak. Masalan; misol uchun:
   • Sizda .. Bor: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
   • O'zgaruvchanlarni guruhlang X va y bir-biri bilan: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
   • Soddalashtirish: 5x = 10
   • X uchun eching: (5x) / 5 = 10/5, Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida x = 2.
5. Boshqa o'zgaruvchilar uchun eching. Siz bitta o'zgaruvchini topdingiz, ammo hali tugallanmagansiz. Javobingizni boshqa tenglamani echish uchun asl tenglamalardan biriga o'rnating. Masalan; misol uchun:
   • Siz buni bilasiz x = 2va bu sizning asl tenglamalaringizdan biri 3x - y = 3 bu.
   • 2 o'rniga, x o'rniga: 3 (2) - y = 3.
   • Y tenglamasida yeching: 6 - y = 3
   • 6 - y + y = 3 + y, shuning uchun 6 = 3 + y
   • 3 = y
6. Ikkala o'zgaruvchi bir-birini bekor qilganda nima qilish kerakligini biling. Ba'zan ikkita tenglamani birlashtirish, hech qanday ma'noga ega bo'lmagan yoki muammoni hal qilishga yordam bermaydigan tenglamani keltirib chiqaradi. Ishingizni boshidanoq ikki marta tekshiring, ammo xato qilmasangiz, quyidagi javoblardan birini yozing:
   • Agar sizning birlashgan tenglamangiz o'zgaruvchiga ega bo'lmasa va (2 = 7 kabi) to'g'ri bo'lmasa, u holda mavjud echim yo'q ikkala tenglama uchun ham amal qiladi. (Agar ikkala tenglamani grafigiga bersangiz, ular parallel va hech qachon kesishmasligini ko'rasiz).
   • Agar sizning qo'shma tenglamangiz o'zgaruvchiga ega bo'lmasa va (0 = 0 kabi) to'g'ri bo'lsa, unda mavjud cheksiz ko'p echimlar. Ikkala tenglama aslida bir xil. (Agar siz ularni grafikaga joylashtirsangiz, ular bir-birining ustiga to'liq yopishganligini ko'rasiz).

3 dan 3-usul: Tenglamalarni grafika qiling

1. Ushbu usuldan faqat belgilanganida foydalaning. Agar siz kompyuter yoki grafika kalkulyatoridan foydalanmasangiz, ko'pgina tenglamalar tizimini faqat shu usul yordamida hal qilish mumkin. O'qituvchingiz yoki matematika darsligingiz ushbu usuldan foydalanishni so'rashi mumkin, shuning uchun siz chiziqlar kabi grafik tenglamalarni yaxshi bilasiz. Javoblaringiz to'g'riligini yoki boshqa usullardan birini tekshirish uchun ushbu usuldan foydalanishingiz mumkin.
   • Asosiy g'oya shundan iboratki, siz ikkala tenglamani grafigini tuzasiz va ular kesishgan nuqtani aniqlaysiz. Ushbu nuqtadagi x va y qiymatlari tenglamalar tizimidagi x va y qiymatlarini beradi.
2. Y uchun ikkala tenglamani eching. Ikkala tenglamani alohida saqlang va algebra yordamida har bir tenglamani "y = __x + __" shaklga o'tkazing. Masalan; misol uchun:
   • Birinchi tenglama: 2x + y = 5. Buni quyidagicha o'zgartiring: y = -2x + 5.
   • Ikkinchi tenglama: -3x + 6y = 0. Buni quyidagiga o'zgartiring 6y = 3x + 0va soddalashtirish y = -x + 0.
   • Ikkala tenglama ham bir xil, keyin butun chiziq "kesishish nuqtasi" ga aylanadi. Yozing: cheksiz echimlar.
3. Koordinatalar sistemasini chizing. Grafika varag'iga vertikal "y o'qi" va gorizontal "x o'qi" chizilgan. Chiziqlar kesishgan joydan boshlang va 1, 2, 3, 4 va boshqalarni y o'qi bo'ylab yuqoriga va yana x o'qi bo'ylab belgilang. Y o'qi bo'ylab -1, -2 va boshqalarni x o'qi bo'ylab pastga va chapga yorliqlang.
   • Agar sizda grafik qog'oz bo'lmasa, o'lchagichdan foydalanib, raqamlar bir tekis joylashtirilganligiga ishonch hosil qiling.
   • Agar siz katta sonlar yoki o'nlik kasrlardan foydalanayotgan bo'lsangiz, jadvalni kattalashtirishingiz kerak bo'lishi mumkin. (Masalan, 1, 2, 3 o'rniga 10, 20, 30 yoki 0,1, 0,2, 0,3).
4. Har bir satr uchun y chorrahasini chizish. Shaklda tenglama bo'lganingizdan so'ng y = __x + __ siz chiziqni y o'qini ushlab turadigan nuqtani o'rnatib, uni grafika qilishni boshlashingiz mumkin. Bu har doim y qiymatida, bu tenglamadagi oxirgi raqamga teng.
   • Avval aytib o'tilgan misollarda bitta satr (y = -2x + 5) o'qiga 5. Boshqa chiziq (y = -x + 0) nol nuqtadan o'tadi 0. (Bular grafadagi (0,5) va (0,0) punktlar).
   • Agar iloji bo'lsa, har bir qatorni har xil rang bilan ko'rsating.
5. Chiziqlarni chizishni davom ettirish uchun nishabdan foydalaning. Shaklda y = __x + __, x th uchun raqam Nishab chiziqdan tashqarida. Har safar x bittaga ko'paytirilganda, y qiyalik qiymati bilan y qiymati ortadi. Ushbu ma'lumotdan foydalanib, har bir satr uchun x = 1 bo'lgan nuqtani toping (Shu bilan bir qatorda, har bir tenglama uchun x = 1 o'rnini almashtiring va y ni eching).
   • Bizning misolimizda chiziq bor y = -2x + 5 Nishab -2. X = 1 bo'lsa, 2-chiziq pastga tushadi pastga x = 0. nuqtadan (0,5) va (1,3) orasidagi chiziqli segmentni chizamiz.
   • Qoida y = -x + 0qiyalikka ega ½. X = 1 bo'lsa, chiziq goes ga o'tadi yuqoriga x = 0. nuqtadan (0,0) va (1, ½) orasidagi chiziqli segmentni chizamiz.
   • Chiziqlar bir xil nishabga ega bo'lganda chiziqlar hech qachon kesilmaydi, shuning uchun tenglamalar tizimi uchun echim yo'q. Yozing: echim yo'q.
6. Chiziqlar kesishguncha ularni chizishda davom eting. To'xtang va jadvalingizga qarang. Agar chiziqlar allaqachon bir-birini kesib o'tgan bo'lsa, keyingi bosqichga o'ting. Aks holda, siz chiziqlar nima qilishiga qarab qaror qabul qilasiz:
   • Chiziqlar bir-biriga qarab harakatlanayotganda, siz ushbu yo'nalishdagi nuqtalarni chizishda davom etasiz.
   • Agar chiziqlar bir-biridan uzoqlashayotgan bo'lsa, orqaga qayting va x = -1 dan boshlab boshqa yo'nalishga nuqta qo'ying.
   • Agar chiziqlar bir-biriga yaqinlashmasa, oldinga sakrab, x = 10 kabi uzoqroq nuqtalarni belgilang.
7. Javobni chiziqlar kesishmasidan toping. Ikkala chiziq kesishganidan so'ng, ushbu nuqtadagi x va y qiymatlari muammoning echimi hisoblanadi. Agar omadingiz bo'lsa, javob butun son bo'ladi. Masalan, bizning misollarimizda ikkita chiziq kesishadi (2,1) sizning javobingiz ham shunday x = 2 va y = 1. Ba'zi tenglama tizimlarida chiziqlar ikkita butun son orasidagi qiymatni kesib o'tadi va agar sizning grafangiz juda aniq bo'lmasa, bu qaerda ekanligini aniqlash qiyin bo'ladi. Agar shunday bo'lsa, siz quyidagi javobni berishingiz mumkin: "x 1 dan 2 gacha". Aniq javobni topish uchun almashtirish yoki yo'q qilish usulidan ham foydalanishingiz mumkin.

Maslahatlar

• Javoblarni asl tenglamalarga qaytarish orqali o'zingizning ishingizni tekshirishingiz mumkin. Agar tenglamalar rost bo'lsa (masalan, 3 = 3), unda sizning javobingiz to'g'ri.
• Yo'q qilish usulida ba'zida o'zgaruvchini yo'q qilish uchun tenglamani salbiy songa ko'paytirish kerak.

Ogohlantirishlar

• Agar siz x kabi quvvat raqami bilan ishlayotgan bo'lsangiz, ushbu usullardan foydalanish mumkin emas. Ushbu turdagi tenglamalar haqida ko'proq bilish uchun sizga ikkita o'zgaruvchiga ega kvadratlarni hisoblash bo'yicha qo'llanma kerak bo'ladi.