Faktor kvadratik tenglamalar

Video: Kvadrat uchhadlarni koʻpaytuvchilarga ajratish: umumiy boʻluvchi + guruhlash | Algebra 2

Tarkib

Qadam bosish
Boshlanishi
6-usulning 1-usuli: Sinov va xato
6-dan 2-usul: Parchalanish
6-dan 3-usul: Uch o'yin
6 ning 4-usuli: Ikkala kvadrat orasidagi farq
6 ning 5-usuli: ABC formulasi
6-usulning 6-usuli: Kalkulyatordan foydalanish
Maslahatlar
Ogohlantirishlar
Zaruriyatlar

Polinom ma'lum bir quvvat o'zgaruvchisini (x) va bir nechta atamalarni va / yoki konstantalarni o'z ichiga oladi. Polinomni koeffitsientga kiritish uchun siz ifodani birlashtirilib, ko'paytiriladigan kichikroq ifodalarga ajratishingiz kerak bo'ladi. Bu ma'lum bir matematik darajani talab qiladi va shuning uchun siz hali unchalik uzoq bo'lmagan bo'lsangiz, tushunish qiyin bo'lishi mumkin.

Qadam bosish

Boshlanishi

Tenglama. Kvadrat tenglama uchun standart format:

ax + bx + c = 0
Tenglamangizdagi shartlarni eng yuqori darajadan eng past darajagacha tartibga solishdan boshlang. Masalan:

6 + 6x + 13x = 0
Biz ushbu iborani tartibini o'zgartiramiz, shunda u bilan ishlash osonroq bo'ladi - shunchaki atamalarni ko'chirish orqali:

6x + 13x + 6 = 0
Quyidagi usullardan biri yordamida omillarni toping. Polinomni faktorlash natijasida asl polinomni olish uchun ko'paytirilishi mumkin bo'lgan ikkita kichik iboralar paydo bo'ladi:

6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
Ushbu misolda (2x +3) va (3x + 2) mavjud omillar asl ifodadan, 6x + 13x + 6.
Ishingizni tekshiring! Siz topgan omillarni ko'paytiring. Xuddi shu shartlarni birlashtiring va ishingiz tugadi. Boshlang:

(2x + 3) (3x + 2)
Keling, EBBL (birinchi - tashqi - ichki - oxirgi) yordamida atamalarni ko'paytirib, buni sinab ko'raylik, bu bizga quyidagilarni beradi:

6x + 4x + 9x + 6
Endi biz 4x va 9x ni qo'shamiz, chunki ular teng shartlardir. Biz omillarning to'g'ri ekanligini bilamiz, chunki biz boshlagan tenglamani qaytaramiz:

6x + 13x + 6

6-usulning 1-usuli: Sinov va xato

Agar sizda juda oddiy polinom bo'lsa, qanday omillarni darhol ko'rishingiz mumkin. Masalan, ba'zi bir amaliyotlardan so'ng, ko'plab matematiklar bu ifodani ko'rishga qodir 4x + 4x + 1 (2x + 1) va (2x + 1) omillarga ega, chunki ular buni ko'p marta ko'rishgan. (Shubhasiz, bu murakkab polinomlar bilan bu qadar oson bo'lmaydi.) Keling, ushbu misol uchun kamroq standart ifodani ko'rib chiqaylik:

3x + 2x - 8

Ning omillarini yozing a muddat va v muddat. Formatdan foydalaning ax + bx + c = 0, tanib oling a va v shartlar va qaysi omillar mavjudligiga e'tibor bering. 3x + 2x - 8 uchun bu quyidagilarni anglatadi:

a = 3 va 1 juft omilga ega: 1 * 3
c = -8 va bu 4 juft omilga ega: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 va -1 * 8.
Ikki juft qavsni bo'sh joy bilan yozing. Bu erda siz har bir ifodaning konstantalarini kiritasiz:

(x) (x)
X ning oldidagi bo'shliqni .ning bir qator mumkin bo'lgan omillari bilan to'ldiring a qiymat. Uchun a bizning misolimizdagi muddat, 3x, faqat bitta imkoniyat mavjud:

(3x) (1x)
X dan keyingi 2 bo'shliqni doimiylik uchun bir nechta omil bilan to'ldiring. 8 va 1 ni tanladik deylik. Buni kiriting:

(3x8) (X1)
X o'zgaruvchilar va sonlar o'rtasida qaysi belgilar (ortiqcha yoki minus) bo'lishi kerakligini aniqlang. Asl ifodaning belgilariga qarab, konstantalarning qanday belgilar bo'lishi kerakligini aniqlash mumkin. Ikki omilning ikkita konstantasini olaylik h va k zikr qilish:

Agar ax + bx + c bo'lsa (x + h) (x + k)
Agar ax - bx - c yoki ax + bx - c bo'lsa (x - h) (x + k)
Agar ax - bx + c bo'lsa (x - h) (x - k)
Bizning misolimizda 3x + 2x - 8 belgisi: (x - h) (x + k), bu bizga quyidagi ikkita omilni beradi:

(3x + 8) va (x - 1)
O'zingizning tanlovingizni birinchi tashqi-ichki-oxirgi ko'paytma bilan sinab ko'ring. O'rta muddat hech bo'lmaganda to'g'ri qiymatni aniqlash uchun tezkor birinchi sinov. Agar yo'q bo'lsa, unda sizda ehtimol noto'g'ri v tanlangan omillar. Javobni sinab ko'raylik:

(3x + 8) (x - 1)
Ko'paytirish orqali biz quyidagilarni olamiz:

3x - 3x + 8x - 8
Ushbu iborani (-3x) va (8x) o'xshash atamalarni qo'shib soddalashtiring va biz quyidagilarni olamiz:

3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Endi biz noto'g'ri omillarni qabul qilganimizni bilamiz:

3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8
Agar kerak bo'lsa, tanlovingizni o'zgartiring. Bizning misolimizda 1 va 8 o'rniga 2 va 4 ni sinab ko'raylik:

(3x + 2) (x - 4)
Endi bizning v muddat -8 ga teng, lekin (3x * -4) va (2 * x) ning tashqi / ichki hosilasi -12x va 2x, bu to'g'ri emas b muddat yoki + 2x.

-12x + 2x = 10x
10x-2x
Agar kerak bo'lsa, buyurtmani teskari yo'naltiring. Keling, 2 va 4 ni aylantirishga harakat qilaylik:

(3x + 4) (x - 2)
Endi bizning v muddatli (4 * 2 = 8) va hali ham yaxshi, lekin tashqi / ichki mahsulotlar -6x va 4x. Ularni birlashtirganda quyidagilar olinadi:

-6x + 4x = 2x
2x ≠ -2x biz hozir bo'lishni xohlagan joyimizga juda yaqinlashmoqdamiz, ammo bu belgi hali to'g'ri emas.
Agar kerak bo'lsa, belgilaringizni ikki marta tekshiring. Biz ushbu buyurtmani bajaramiz, lekin minus belgisi bilan almashtiramiz:

(3x - 4) (x + 2)
Endi v muddatli hali ham yaxshi, tashqi va ichki mahsulotlar endi (6x) va (-4x). Chunki:

6x - 4x = 2x
2x = 2x Endi biz ijobiy 2x ni asl muammodan qaytaramiz. Bu to'g'ri omillar bo'lishi kerak.

6-dan 2-usul: Parchalanish

Ushbu usul barcha mumkin bo'lgan omillarni beradi a va v atamalar va ulardan qaysi omillarning to'g'ri ekanligini aniqlash uchun foydalanadi. Agar raqamlar juda katta bo'lsa yoki boshqa usullarning taxminlari juda uzoq davom etadigan bo'lsa, ushbu usuldan foydalaning. Misol:

6x + 13x + 6

Ni ko'paytiring a bilan muddatli v muddat. Ushbu misolda, a 6 va v Bundan tashqari, 6 ga teng.

6 * 6 = 36
Toping b faktorizatsiya va sinov usulida muddat. Biz omillar bo'lgan 2 ta raqamni qidirmoqdamiz a * v va birgalikda b muddat (13).

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Tenglamangizda olingan ikkita raqamni yig'indisi o'rniga qo'ying b muddat. Keling k va h bizda mavjud bo'lgan 4 va 9 raqamlarini ifodalash uchun:

ax + kx + hx + c
6x + 4x + 9x + 6
Polinomni guruhlarga ajratish. Birinchi ikkita hadning va oxirgi ikkita hadning eng katta umumiy bo'luvchisini ajratish uchun tenglamani tashkil qiling. Ikkala omil ham bir xil bo'lishi kerak. GGD-larni qo'shing va ularni qavslarga, omillarning yoniga qo'ying; Natijada siz ikkita omilni olasiz:

6x + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)

6-dan 3-usul: Uch o'yin

Parchalanish usuliga o'xshash. "Uch karra o'ynash" usuli mahsulotning mumkin bo'lgan omillarini o'rganadi a va v va undan nimani bilish uchun foydalaning b bo'lishi kerak. Masalan, tenglamani oling:

8x + 10x + 2

Ni ko'paytiring a bilan muddatli v muddat. Parchalanish usulida bo'lgani kabi, biz undan foydalanadigan nomzodlarni aniqlash uchun foydalanamiz b muddat. Ushbu misolda: a 8 va v 2.

8 * 2 = 16
Ushbu son bilan ko'paytma va yig'indisi teng bo'lgan 2 ta sonni toping b muddat. Ushbu qadam dekompozitsiya usuli bilan bir xil - biz doimiylikka nomzodlarni sinovdan o'tkazamiz. Mahsuloti a va v shartlari 16, va v muddati 10:

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Ushbu 2 ta raqamni oling va ularni "uch marta o'ynash" formulasida almashtiring. Oldingi bosqichdagi 2 ta raqamni oling - keling ularni olamiz h va k ularni chaqiring va ularni quyidagi ifodaga qo'ying:

((ax + h) (ax + k)) / a

Shu bilan biz quyidagilarni olamiz:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Belgilagichdagi ikki atama qaysi biriga to'liq bo'linishini ko'rib chiqing a. Ushbu misolda (8x + 8) yoki (8x + 2) ni 8 ga bo'lishini ko'rib chiqamiz (8x + 8) 8 ga bo'linadi, shuning uchun biz bu atamani a va biz boshqasini ta'sirsiz qoldiramiz.

(8x + 8) = 8 (x + 1)
Biz bu erda saqlagan atama - ga bo'lgandan keyin qolgan atama a muddat: (x + 1)
Iloji bo'lsa, ikkala yoki ikkala atamadan eng katta umumiy bo'luvchini (gcd) oling. Ushbu misolda biz ikkinchi atama $ gcd $ ga teng ekanligini ko'ramiz, chunki 8x + 2 = 2 (4x + 1). Ushbu javobni oldingi bosqichda kashf etgan atama bilan birlashtiring. Bu sizning taqqoslashingiz omillari.

2 (x + 1) (4x + 1)

6 ning 4-usuli: Ikkala kvadrat orasidagi farq

Siz polinomdagi ba'zi koeffitsientlarni "to'rtburchaklar", shuningdek 2 ta bir xil sonlarning ko'paytmasi sifatida taniy olasiz. Qaysi kvadratlar ekanligini aniqlab, siz polinomlarni tezroq faktor qilishingiz mumkin. Biz tenglamani olamiz:

27x - 12 = 0

Iloji bo'lsa, tenglamadan gcd-ni olib tashlang. Bu holda biz 27 va 12 ning ikkalasi 3 ga bo'linishini ko'rayapmiz, shuning uchun ularni alohida joylashtirishimiz mumkin:

27x - 12 = 3 (9x - 4)
Tenglamangiz koeffitsientlari kvadrat bo'ladimi yoki yo'qligini aniqlang. Ushbu usuldan foydalanish uchun atamalarning ildizini aniqlash kerak. (E'tibor bering, biz minus belgilarini tashladik - chunki bu raqamlar to'rtburchaklar, ular 2 salbiy sonlarning ko'paytmasi bo'lishi mumkin)

9x = 3x * 3x va 4 = 2 * 2
Siz aniqlagan kvadrat ildizdan foydalanib, endi omillarni yozishingiz mumkin. Biz olamiz a va v oldingi qadam qiymatlari: a = 9 va v = 4, demak, uning ildizlari: - √a = 3 va √v = 2. Bular ko'paytirilgan ifodalarning koeffitsientlari:

27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

6 ning 5-usuli: ABC formulasi

Agar hech narsa ishlamay tuyulsa va siz tenglamani hal qila olmasangiz, abc formuladan foydalaning. Quyidagi misolni oling:

x + 4x + 1 = 0

ABC formulasiga tegishli qiymatlarni kiriting:

x = -b ± √ (b - 4ac)
---------------------
2a
Endi biz quyidagi ifodani olamiz:

x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2
$ X $ uchun eching. Endi x uchun 2 qiymat olish kerak. Bular:

x = -2 + √ (3) yoki x = -2 - √ (3)
Omillarni aniqlash uchun x qiymatlaridan foydalaning. Ikkala tenglamada olingan x qiymatlarini doimiy ravishda kiriting. Bu sizning omillaringiz. Agar ikkalasiga javob bersak h va k biz ikkita omilni quyidagicha yozamiz:

(x - h) (x - k)
Bunday holda, yakuniy javob:

(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

6-usulning 6-usuli: Kalkulyatordan foydalanish

Agar grafikli kalkulyatordan foydalanishga ruxsat berilsa (yoki majburiy) bo'lsa, bu faktoringni juda osonlashtiradi, ayniqsa imtihon va imtihonlarda. Quyidagi ko'rsatmalar TI grafika kalkulyatori uchun. Biz tenglamani misoldan foydalanamiz:

y = x - x - 2

Tenglamani kalkulyatoringizga kiriting. Siz [Y =] ekrani deb ham ataladigan tenglama echimidan foydalanasiz.
Tenglamani kalkulyator yordamida chizib oling. Tenglamani kiritganingizdan so'ng, [GRAPH] tugmasini bosing - endi siz egri chiziqni, parabolani tenglamangizning grafik tasviri sifatida ko'rishingiz kerak (va bu parabola, chunki biz polinom bilan ish yuritamiz).
Parabola x o'qi bilan kesishgan joyni toping. Kvadrat tenglama an'anaviy ravishda ax + bx + c = 0 sifatida yozilganligi sababli, bu tenglamani nolga tenglashtiradigan ikkita x qiymat:

(-1, 0), (2 , 0)
x = -1, x = 2
- Agar parabola x o'qi bilan kesishgan joyni ko'ra olmasangiz, [2] va keyin [TRACE] tugmachasini bosing. [2] tugmachasini bosing yoki "nol" ni tanlang. Kursorni chorrahaning chap tomoniga olib boring va [ENTER] tugmasini bosing. Kursorni chorrahadan o'ngga olib boring va [ENTER] tugmasini bosing. Kursorni iloji boricha kesishish nuqtasiga yaqinlashtiring va [ENTER] tugmasini bosing. Kalkulyator x qiymatini ko'rsatadi. Buni boshqa chorrahada ham qiling.
Olingan x qiymatlarini ikkita faktordagi ifodalarga kiriting. Agar ikkita x qiymatini olsak h va k atama sifatida biz ishlatadigan ibora quyidagicha ko'rinadi:

(x - h) (x - k) = 0
Shunday qilib, bizning ikkita omilimiz quyidagicha bo'ladi:

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Maslahatlar

Agar siz polinomni abc formulasi bilan aniqlagan bo'lsangiz va sizning javobingizda ildizlar bo'lsa, ularni tekshirish uchun x qiymatlarini kasrlarga aylantirishingiz mumkin.
Agar atamada oldin koeffitsient bo'lmasa, u holda koeffitsient 1 ga teng, masalan x = 1x.
Agar sizda TI-84 kalkulyatori bo'lsa, siz uchun kvadrat tenglamani echadigan SOLVER deb nomlangan dastur mavjud. Bundan tashqari, yuqori darajadagi polinomlarni hal qiladi.
Ko'p mashqlardan so'ng, siz oxir-oqibat polinomlarni yoddan hal qila olasiz. Ammo xavfsiz tomonda bo'lish uchun ularni har doim yozib qo'yish yaxshidir.
Agar atama mavjud bo'lmasa, koeffitsient nolga teng. Keyin tenglamani qayta yozish foydali bo'lishi mumkin. Masalan, x + 6 = x + 0x + 6.

Ogohlantirishlar

Agar siz ushbu kontseptsiyani matematik darsda o'rganayotgan bo'lsangiz, o'qituvchi tushuntirayotgan narsalarga e'tibor bering va o'zingizning sevimli usulingizdan foydalanmang. Sizdan test uchun ma'lum bir usuldan foydalanish so'ralishi mumkin yoki grafika kalkulyatorlariga yo'l qo'yilmasligi mumkin.