Kvadrat tenglamalarni omillarga tahlil qiling - Maslahatlar

Kvadrat tenglamalarni qanday kataklash mumkin - Maslahatlar

Tarkib

Qadamlar
Maslahat
Sizga nima kerak

Matematikada, omillarni tahlil qilish berilgan raqam yoki tenglamaning ko'paytmasi bilan raqamlarni yoki ifodalarni topishdir. Faktor tahlili - bu asosiy algebraik masalalarni echishda o'rganish uchun foydali ko'nikma: mahorat bilan faktorizatsiya qilish qobiliyati ishlash haqida gap ketganda deyarli muhimdir. algebraik tenglamalar yoki boshqa polinom shakllari bilan. Muammoni soddalashtirib, algebraik ifodalarni kamaytirish uchun omillar tahlili qo'llanilishi mumkin. Buning yordamida siz ba'zi mumkin bo'lgan javoblarni qo'l bilan echishdan ko'ra tezroq yo'q qilishingiz mumkin.

Qadamlar

3-usulning 1-usuli: Sonlarni va asosiy algebraik ifodalarni omillarga qarab tahlil qiling

Yagona raqamlarga murojaat qilishda omil tahlilining ta'rifini tushunib oling. Kontseptual jihatdan sodda bo'lsa-da, amalda murakkab tenglamalarni qo'llash juda qiyin bo'lishi mumkin. Shuning uchun eng oson omillarni tahlil qilishning kontseptual yondashuvi bitta raqamlardan boshlash va undan so'ng yanada rivojlangan dasturlarga o'tishdan oldin oddiy tenglamalarga o'tishdir. Faktor berilgan raqam uchun bir xil songa ko'paytmasi bo'lgan raqamlar. Masalan, 1, 12, 2, 6, 3 va 4 12 ga teng, chunki 1 × 12, 2 × 6 va 3 × 4 ning barchasi 12 ga teng.
- Boshqacha qilib aytganda, berilgan sonning omillari sonlardir bo'lingan shu raqam bo'yicha.
- 60 koeffitsientini to'liq topa olasizmi? 60 raqami har xil maqsadlarda (soat ichida daqiqalar, daqiqalarda soniyalar va boshqalar) ishlatiladi, chunki u ko'p sonlarga bo'linadi.
  - 60 raqami quyidagi omillarga ega: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 va 60.
O'zgaruvchilarni o'z ichiga olgan iboralarni ham faktorizatsiya qilish mumkinligini tushuning. Mustaqil sonlar bilan bir qatorda, arifmetik koeffitsientli o'zgaruvchilar ham omillarga bo'linishi mumkin. Buning uchun biz faqat o'zgaruvchining koeffitsienti omillarini topishimiz kerak. Tahlilni qanday faktorizatsiyalashni bilish o'zgaruvchini o'z ichiga olgan sodda o'zgaruvchan algebraik tenglamalarda juda foydalidir.
- Masalan, 12x ni 12 va x natijalari sifatida qayta yozish mumkin. 12x ni 3 (4x), 2 (6x) va hokazo deb yozish va 12 ning maqsadiga mos keladigan omillardan foydalanish mumkin.
  - Siz hatto 12 barobar tahlilga borishingiz mumkin ko'p marotaba. Boshqacha qilib aytganda, 3 (4x) yoki 2 (6x) da to'xtashning hojati yo'q - biz 3 x (2 (2x) 2 (3 (2x)) olish uchun 4x va 6x ni tahlil qilishimiz mumkin. Ushbu formula tengdir.
Algebraik tenglamalarni faktorizatsiya qilish uchun ko'paytirishning assotsiativ xususiyatlarini qo'llang. Ham mustaqil sonlarni, ham koeffitsientlarni omillarga tahlil qilish bo'yicha bilimingizdan foydalanib, tenglamaga kiritilgan sonlar va o'zgaruvchilarning umumiy omillarini topish orqali oddiy algebraik tenglamalarni soddalashtirishingiz mumkin. Ko'pincha, tenglama iloji boricha sodda bo'lishi uchun biz eng katta umumiy bo'luvchini topishga harakat qilamiz. Ushbu oddiy o'zgarish ko'payishning assotsiativ xususiyati tufayli mumkin - har bir a, b va c sonlari uchun bizda: a (b + c) = ab + ac.
- Quyidagi misol muammosini ko'rib chiqamiz. 12x + 6 algebraik tenglamasini faktorga aylantirish uchun, avval 12x va 6 ning eng katta umumiy bo'luvchisini topamiz. 6 - bu ikkala x va 6 ga bo'linadigan eng katta son, shuning uchun biz shunchaki o'zgartira olamiz tenglamani 6 ga kamaytiring (2x + 1).
- Xuddi shu jarayon salbiy belgilar va kasrlarni o'z ichiga olgan tenglamalarga nisbatan qo'llaniladi. Masalan, x / 2 + 4 ni shunchaki 1/2 (x + 8) ga aylantirish mumkin, va -7x + -21 -7 (x + 3) ga parchalanishi mumkin.
reklama

3 dan 2-usul: kvadrat tenglamalarni omillarga tahlil qilish

Tenglama kvadratik shaklda ekanligiga ishonch hosil qiling (ax + bx + c = 0). Kvadrat tenglama ax + bx + c = 0 shaklga ega, bu erda a, b va c doimiy, a esa nolga teng (a ga e'tibor bering mumkin 1 yoki -1 ga teng). Agar bitta o'zgaruvchan (x) tenglamada x ning kvadratini o'z ichiga olgan bir yoki bir nechta atamalar bo'lsa, odatda teng belgining bir tomonidagi asosiy algebraik operatorni 0 ga aylantirib, axga yo'l qo'ying va hokazo. boshqa tomonda.
- Masalan, 5x + 7x - 9 = 4x + x - 18 algebraik tenglamasini x + 6x + 9 = 0 ga kamaytirish mumkin, bu kvadratik shakl.
- X ning yuqori ko'rsatkichiga ega bo'lgan tenglamalar, masalan, x, x va boshqalar. kvadratik bo'lishi mumkin emas. Ular kvadratik, kvadratik, ... x ning 3 va undan ortiq kuchlarini o'z ichiga olgan atamalarni yo'q qilish orqali tenglamani kamaytirish mumkin bo'lmasa.
Kvadrat tenglamalar bilan, a = 1 bo'lganda, (x + d) (x + e) ga ajralamiz, bu erda d × e = c va d + e = b. Agar kvadrat tenglama x + bx + c = 0 ko'rinishida bo'lsa (boshqacha qilib aytganda, x = 1 koeffitsienti bo'lsa), bizda nisbatan tezroq hisoblashdan foydalanish imkoniyati mavjud (lekin aniq emas). bu tenglamani faktor qilish oddiy. C ga teng ikkita sonni toping va yig'indisi b ga teng. D va e ni topgach, ularni quyidagi ifoda bilan almashtiring: (x + d) (x + e). Birgalikda ko'paytirilganda, ushbu ikki element bizga yuqoridagi kvadrat tenglamani beradi - boshqacha qilib aytganda, ular tenglamaning omillari.
- Masalan, x + 5x + 6 = 0. kvadrat tenglamasini oling. 3 va 2 ning ko'paytmasi 6 ga teng va bir vaqtning o'zida jami 5 ga teng. Shuning uchun biz tenglamani shunchaki (x + 3) ga aylantirishimiz mumkin ( x + 2).
- Ushbu asosiy tezkor tuzatish tenglamaning o'zi biroz boshqacha bo'lganda biroz boshqacha bo'ladi:
  - Agar kvadrat tenglama x-bx + c shaklida bo'lsa, sizning javobingiz quyidagicha bo'ladi: (x - _) (x - _).
  - Agar u x + bx + c shaklida bo'lsa, sizning javobingiz quyidagicha bo'ladi: (x + _) (x + _).
  - Agar u x-bx-c bo'lsa, sizning javobingiz (x + _) (x - _) shaklida bo'ladi.
- Izoh: bo'shliqlarda kasr yoki o'nlik bo'lishi mumkin. Masalan, x + (21/2) x + 5 = 0 tenglama (x + 10) (x + 1/2) ga parchalanadi.
Iloji bo'lsa, sinov orqali faktor tahlilini o'tkazing. Ishoning yoki ishonmang, murakkab bo'lmagan kvadratik tenglama bilan faktorizatsiya qilishning qabul qilingan usullaridan biri bu muammoni ko'rib chiqish, so'ngra barcha mumkin bo'lgan javoblarni to'g'ri javob. U sinov usuli sifatida ham tanilgan.Agar tenglama ax + bx + c va a> 1 ko'rinishga ega bo'lsa, sizning faktorizatsiyangiz (dx +/- _) (ex +/- _) shaklga ega bo'ladi, bu erda d va e doimiylar ikkinchisi a ga teng emas. d yoki e (yoki ikkalasi ham) mumkin 1 ga teng, garchi bu shart emas bo'lsa ham. Agar ikkalasi ham 1 ga teng bo'lsa, siz asosan yuqorida ko'rsatilgan tezkor ishdan foydalangan bo'lar edingiz.
- Quyidagi misol muammosini ko'rib chiqing. Bir qarashda 3x - 8x + 4 juda qo'rqinchli ko'rinadi. Ammo, 3 ning faqat ikkita omili (3 va 1) borligini anglaganingizdan so'ng, muammo osonroq bo'ladi, chunki biz javob (3x +/- _) (x +/- _) shaklida bo'lishi kerakligini bilamiz. Bunday holda, -2 ni ikkala bo'shliq bilan almashtirish to'g'ri javob beradi. -2 × 3x = -6x va -2 × x = -2x. -6x va -2x jami -8x ga teng. -2 × -2 = 4, shuning uchun qavs ichida ajratilgan elementlar bizga dastlabki tenglamani berishini ko'rish mumkin.
Kvadratni to'ldirish bilan muammoni hal qiling. Ba'zi hollarda kvadrat tenglamalarni maxsus algebraik identifikator yordamida tez va osonlik bilan ko'paytirish mumkin. X + 2xh + h = (x + h) shaklidagi har qanday kvadratik tenglama. Shuning uchun, agar tenglamada, $ c $ ning kvadratik ildizi ikki baravar bo'lsa, tenglamani (x + (sqrt (c))) ga ajratish mumkin.
- Masalan, x + 6x + 9 tenglama ushbu forma uchun ishlaydi. 3 9 va 3 × 2 ga teng 6. Shunday qilib, biz bu tenglamani faktorizatsiya shakli (x + 3) (x + 3), yoki (x + 3) ekanligini bilamiz.
Kvadrat tenglamalarni koeffitsientlar bilan yeching. Qanday bo'lmasin, kvadratik ifodani faktorizatsiya qilgandan so'ng, har bir omilni nolga berish va uni echish orqali x qiymatiga mumkin bo'lgan javobni topishingiz mumkin. Tenglik nolga teng bo'ladigan x qiymatini izlayotganingiz uchun, omil nolga teng bo'lgan har qanday x bu tenglamaning mumkin bo'lgan echimi bo'ladi.
- X + 5x + 6 = 0 tenglamasiga qayting. Bu (x + 3) (x + 2) = 0 ga bo'linadi. Bitta omil nolga teng bo'lsa, butun tenglama nolga aylanadi. X ning mumkin bo'lgan echimlari (x + 3) va (x + 2) mos ravishda 0, -3 va -2 ga teng bo'lgan sonlardir.
Javoblaringizni tekshiring - ba'zilari ekzotik bo'lishi mumkin! X ning mumkin bo'lgan echimlarini topgach, ularni to'g'ri yoki yo'qligini aniqlash uchun ularni asl tenglama bilan almashtiring. Ba'zan, javob uni topadi Muammo yo'q almashtirilganda asl tenglama nolga tenglashadi. Biz ushbu echimlarni chaqiramiz Ekzotik va ularni yo'q qilish.
- X + 5x + 6 = 0 uchun -2 va -3 ni almashtiramiz. Birinchidan, -2:
  - (-2) + 5(-2) + 6 = 0
  - 4 + -10 + 6 = 0
  - 0 = 0. Ha, shuning uchun -2 tenglamaning to'g'ri echimi.
- Keling, -3 bilan sinab ko'raylik:
  - (-3) + 5(-3) + 6 = 0
  - 9 + -15 + 6 = 0
  - 0 = 0. Bu ham to'g'ri va shuning uchun -3 ham tenglamaning to'g'ri echimi.
reklama

3 dan 3-usul: Boshqa turdagi tenglamalarni omillarga qarab tahlil qiling

Agar tenglama a-b shaklida bo'lsa, uni (a + b) (a-b) ga ajrating. Ikki o'zgaruvchan tenglama asosiy kvadrat tenglamadan farqli ravishda tahlil qilinadi. A va b nol bo'lmagan har qanday a-b tenglama (a + b) (a-b) ga ajraladi.
- Masalan, 9x - 4y = (3x + 2y) (3x - 2y) tenglama.
Agar tenglama a + 2ab + b shaklida bo'lsa, uni (a + b) ga ajrating. E'tibor bering, agar trinomial shakl a bo'lsa-2ab + b, faktorizatsiya shakli biroz farq qiladi: (a-b).
- 4x + 8xy + 4y tenglamalari 4x + (2 × 2 × 2) xy + 4y sifatida qayta yozilishi mumkin. Endi biz uning to'g'ri shaklda ekanligini ko'rib turibmiz va ushbu tenglamaning faktorizatsiya shakli (2x + 2y) ekanligini aniq aytishimiz mumkin.
Agar tenglama a-b shaklida bo'lsa, uni (a-b) (a + ab + b) ga ajrating. Va nihoyat, uchlik tenglamalar va undan yuqori darajadagi tenglamalarni faktorizatsiya qilish mumkin deyish kerak. Biroq, tahlil jarayoni tezda nihoyatda murakkablashadi.
- Masalan, 8x - 27y (2x - 3y) (4x + ((2x) (3y)) + 9y) ga parchalanadi.
reklama

Maslahat

a-b faktorizatsiya qilinishi mumkin, a + b esa bo'lmaydi.
Doimiylikni qanday faktor qilishni unutmang - bu foydali bo'lishi mumkin.
Faktorizatsiya jarayonida fraktsiyalarga e'tibor bering, ularni to'g'ri va mos ravishda boshqaring.
X + bx + (b / 2) trident bilan uning faktorizatsiyasi (x + (b / 2)) bo'ladi (kvadratni to'ldirish paytida bu holatga duch kelishingiz mumkin).
A0 = 0 ekanligini unutmang (xususiyat nolga ko'paytiriladi).