Tarkib

• Qadamlar
• Maslahat

Agar siz matematik yoki grafik dasturchi bo'lsangiz, ehtimol berilgan ikkita vektor orasidagi burchakni topishingiz kerak bo'ladi. Ushbu maqolada wikiHow sizga buni qanday qilishni ko'rsatib beradi.

Qadamlar

2-qismning 1-qismi: Ikki vektor orasidagi burchakni toping

1. 

   Vektorli ta'rif. Sizda mavjud bo'lgan ikkita vektor haqida barcha ma'lumotlarni yozing. Sizda faqat ularning o'lchovli koordinatalarining belgilangan parametrlari bor deylik (shuningdek, komponentlar deb ham ataladi). Agar siz allaqachon vektorning uzunligini (kattaligini) bilsangiz, quyidagi bosqichlarning bir qismini o'tkazib yuborishingiz mumkin.
   • Misol: Ikki o'lchovli vektor = (2,2) va ikki o'lchovli vektor = (0,3). Ularni = 2 deb yozish ham mumkinmen + 2j va = 0men + 3j = 3j.
   • Ushbu maqoladagi misolda ikki o'lchovli vektorlardan foydalanilganiga qaramay, quyidagi ko'rsatmalar istalgan o'lchamdagi vektorlarga tegishli bo'lishi mumkin.

2. 

   
   
   Kosinus formulasini yozing. Ikki vektor orasidagi θ burchakni topish uchun shu burchak uchun kosinusni topish formulasidan boshlaymiz. Siz ushbu formulani quyida bilib olishingiz yoki shunchaki yozishingiz mumkin:
   • cosθ = (•) / (|||| ||||)
   • |||| "vektor uzunligi" degan ma'noni anglatadi.
   • • bu ikki vektorning skalar ko'paytmasi - bu quyida tushuntiriladi.

3. 

   
   
   Har bir vektorning uzunligini hisoblang. Tasavvur qiling, to'rtburchak uchburchak vektorning x, y tarkibiy qismlaridan va vektorning o'zidan tashkil topgan. Vektor uchburchakning gipotenuzasini hosil qiladi, shuning uchun uning uzunligini topish uchun Pifagor teoremasidan foydalanamiz. Darhaqiqat, ushbu formulani istalgan o'lchamdagi vektorga osongina etkazish mumkin.
   • || u || = u₁ + u₂. Agar vektorda ikkitadan ortiq element bo'lsa, siz + u qo'shishni davom ettirishingiz kerak₃ + u₄ +...
   • Shunday qilib, ikki o'lchovli vektor uchun, || u || = √ (u₁ + u₂).
   • Ushbu misolda |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   Ikki vektorning skaler ko'paytmasini hisoblang. Ehtimol, siz vektorni ko'paytirish usulini o'rgangansiz, shuningdek skalar bu. Skalyar mahsulotni ularning tarkibiga nisbatan hisoblash uchun har bir yo'nalishda ingredientlarni ko'paytiring, so'ngra butun natijani qo'shing.
   • Grafika dasturi uchun, iltimos, qo'shimcha o'qishdan oldin Maslahatlar bo'limiga murojaat qiling.
   • Matematikada • = u₁v₁ + u₂v₂, bu erda, u = (u₁, u₂). Agar vektorda ikkitadan ortiq element bo'lsa, shunchaki + u qo'shing₃v₃ + u₄v₄...
   • Ushbu misolda • = u₁v₁ + u₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. Bu vektor va vektorning skalar ko'paytmasi.

5. 

   Natijalarni formulaga qo'ying. Cosθ = (•) / (|||| || ||) ekanligini unutmang. Shu nuqtada biz ikkala skalyar mahsulotni ham, har bir vektor uzunligini ham bilamiz. Burchak kosinusini hisoblash uchun ularni formulaga kiriting.
   • Bizning misolimizda cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / -2 = -2 / 2.

6. 

   Uning kosinusiga asoslangan burchakni toping. Arcos yoki cos funktsiyasini ma'lum bo'lgan cos qiymatidan θ ni topish uchun kalkulyatorda ishlatishingiz mumkin. Ba'zi natijalar bilan siz birlik doirasiga asoslangan burchakni topishingiz mumkin.
   • Masalan, cosθ = -2 / 2. Burchakni topish uchun kalkulyatoringizga "arccos (-2 / 2)" kiriting. Yoki birlik aylanasida ph burchakni topishingiz mumkin, cosθ = -2 / 2 holatida. Bu to'g'ri θ = /₄ yoki 45º.
   • Barchasini birlashtirgan holda yakuniy formula quyidagicha: burchak b = arkosin ((•) / (|||| || ||))
   reklama

2 ning 2 qismi: Burchaklar formulasini aniqlash

1. 

   Formulaning maqsadini tushunib oling. Ushbu formula mavjud qoidalardan kelib chiqmagan. Buning o'rniga, u skaler mahsulotning ta'rifi va ikki vektor orasidagi burchak sifatida hosil bo'ladi. Shunga qaramay, bu o'zboshimchalik bilan qabul qilingan qaror emas edi. Asosiy geometriyaga qaytib, nima uchun ushbu formulaning intuitiv va foydali ta'riflarni taqdim etishini tushunishimiz mumkin.
   • Quyidagi misollarda ikki o'lchovli vektorlardan foydalaniladi, chunki ularni tushunish eng oson va sodda. Uch o'lchovli yoki undan ko'p vektorlar deyarli o'xshash umumiy formulalar bilan aniqlangan xususiyatlarga ega.

2. 

   Cosine teoremasini ko'rib chiqing. A va b tomonlari, qarama-qarshi tomoni c bilan angle burchakli oddiy uchburchakni ko'rib chiqing. Kosinus teoremasi c = a + b -2ab ekanligini bildiradicos(θ). Ushbu natija oddiy geometriyadan olingan.

3. 

   Uchburchak hosil qilib, ikkita vektorni ulang. Ikkita o'lchovli vektorlarni qog'ozga, vektorlarga va vektorlarga chizib oling, ularning orasidagi burchak esa. Uchburchak hosil qilish uchun bu ikkalasining orasiga uchinchi vektorni torting. Boshqacha qilib aytganda, vektorni + = ga tenglashtiring. Vektor = -.

4. 

   Ushbu uchburchak uchun kosinoz teoremasini yozing. "Vektor uchburchagi" ning yon uzunligini Kosinus teoremasiga almashtiring:
   • || (a - b) || = || a || + || b || - 2 || a || || b ||cos(θ)

5. 

   Skalyar mahsulot bilan qayta yozing. Esingizda bo'lsa, skalyar mahsulot bu bitta vektorning ikkinchisidagi tasviridir. Vektorning o'zi bilan skaler mahsuloti proektsiyani talab qilmaydi, chunki bu erda yo'nalish bo'yicha farq yo'q. Bu degani • = || a ||. Buning yordamida biz tenglamani qayta yozamiz:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || a || || b ||cos(θ)

6. 

   Xuddi shu formulani muvaffaqiyatli qayta yozing. Formulaning chap tomonini kengaytiring, so'ng burchaklarni topish uchun formulani olish uchun soddalashtiring.
   • • - • - • + • = • + • - 2 || a || || b ||cos(θ)
   • - • - • = -2 || a || || b ||cos(θ)
   • -2 (•) = -2 || a || || b ||cos(θ)
   • • = || a || || b ||cos(θ)
   reklama

Maslahat

• Qiymatlarni o'zgartirish va muammoni tezda hal qilish uchun ushbu formuladan har qanday ikki o'lchovli vektorlar juftligi uchun foydalaning: cosθ = (u₁ • v₁ + u₂ • v₂) / (√ (u₁ • u₂) • √ (v.)₁ • v₂)).
• Agar siz kompyuter grafikasi dasturlari bilan ishlayotgan bo'lsangiz, ehtimol siz vektorning o'lchamlari haqida qayg'urmasdan ularning o'lchamlari haqida tashvishlanishingiz mumkin. Tenglamani qisqartirish va dasturni tezlashtirish uchun quyidagi amallarni bajaring:
  • Har bir vektorni 1 ga teng qilib normalizatsiya qiling. Buning uchun vektor tarkibiy qismlarining har birini uzunligiga bo'ling.
  • Dastlabki vektor o'rniga skalerning normallashtirilgan mahsulotini oling.
  • Uzunlik 1 ga teng bo'lgani uchun uzunlik elementlarini tenglamadan chiqarib tashlashimiz mumkin. Nihoyat, olingan burchak tenglamasi arccos (•).
• Kosinus formulasiga asoslanib, biz burchakning keskin yoki tekisligini tezda aniqlashimiz mumkin. Cosθ = (•) / (|||| ||||) bilan boshlang:
  • Tenglamaning chap va o'ng tomonlari bir xil belgiga ega bo'lishi kerak (ijobiy yoki salbiy).
  • Uzunlik har doim ijobiy bo'lganligi sababli, cosθ skalyar mahsulot bilan bir xil belgiga ega bo'lishi kerak.
  • Shuning uchun, agar mahsulot ijobiy bo'lsa, cosθ ham ijobiy bo'ladi. The <π / 2 yoki 90º bo'lgan birlik doirasining birinchi kvadrantidamiz. Topiladigan burchak - bu o'tkir burchak.
  • Agar skalyar mahsulot salbiy bo'lsa, cosθ manfiy bo'ladi. The / 2 <θ ≤ π yoki 90º <θ ≤ 180º bilan birlik doirasining ikkinchi kvadrantidamiz. Bu qamoqxona burchagi.