Tarkib

• Qadamlar

Trigonometrik tenglama "x" o'zgaruvchisining (yoki boshqa o'zgaruvchining) bir yoki bir nechta trigonometrik funktsiyalarini o'z ichiga oladi. Trigonometrik tenglamani yechish - bu funktsiya (lar) ni va umuman tenglamani qondiradigan "x" qiymatini topish.

• Trigonometrik tenglamalarning echimlari daraja yoki radian bilan ifodalanadi. Misollar:

x = π / 3; x = 5π / 6; x = 3π / 2; x = 45 daraja; x = 37,12 daraja; x = 178,37 daraja.

• E'tibor bering: trigonometrik funktsiyalarning radian bilan ifodalangan burchakdan va gradus bilan ifodalangan burchakdan qiymatlari teng. Trigonometrik funktsiyalarni tavsiflash, shuningdek asosiy trigonometrik tenglamalar va tengsizliklar yechimining to'g'riligini tekshirish uchun radiusi birga teng bo'lgan trigonometrik aylana ishlatiladi.
• Trigonometrik tenglamalarga misollar:
  • sin x + sin 2x = 1/2; tg x + ctg x = 1.732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. Radiusi bitta bo'lgan trigonometrik doira (birlik doira).
   • Bu radiusi bitta va O nuqtada markazga teng bo'lgan aylana. Birlik doirasi "x" o'zgaruvchining 4 ta asosiy trigonometrik funktsiyasini tavsiflaydi, bu erda "x" - X o'qining musbat yo'nalishidan soat sohasi farqli o'laroq.
   • Agar "x" birlik doiradagi burchak bo'lsa, u holda:
   • Gorizontal o'qi OAx F (x) = cos x funktsiyasini belgilaydi.
   • OBy vertikal o'qi F (x) = sin x funktsiyasini belgilaydi.
   • AT vertikal o'qi F (x) = tan x funktsiyasini belgilaydi.
   • Gorizontal o'q BU F (x) = ctg x funktsiyasini belgilaydi.

• Birlik doirasi, shuningdek, asosiy trigonometrik tenglamalar va tengsizliklarni echishda ishlatiladi (unda "x" ning turli pozitsiyalari ko'rib chiqiladi).

Qadamlar

1. 1 Trigonometrik tenglamalarni yechish haqida tushuncha.
   • Trigonometrik tenglamani yechish uchun uni bir yoki bir nechta asosiy trigonometrik tenglamalarga aylantiring. Trigonometrik tenglamani yechish oxir -oqibat to'rtta asosiy trigonometrik tenglamani echishga to'g'ri keladi.
2. 2 Asosiy trigonometrik tenglamalarni echish.
   • Asosiy trigonometrik tenglamalarning 4 turi mavjud:
   • sin x = a; cos x = a
   • tg x = a; ctg x = a
   • Asosiy trigonometrik tenglamalarni yechish birlik doirasidagi turli x pozitsiyalarni ko'rib chiqish va konvertatsiya jadvalidan (yoki kalkulyatordan) foydalanishni o'z ichiga oladi.
   • Misol 1.sin x = 0.866. Konvertatsiya jadvalidan (yoki kalkulyatordan) foydalanib, siz javob olasiz: x = π / 3. Birlik doirasi boshqa javobni beradi: 2π / 3. Esingizda bo'lsin: barcha trigonometrik funktsiyalar davriy, ya'ni ularning qiymatlari takrorlanadi. Masalan, sin x va cos x davriyligi 2πn, tg x va ctg x davriyligi πn. Shuning uchun javob quyidagicha yoziladi:
   • x1 = π / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn.
   • Misol 2.cos x = -1/2. Konversiya jadvalidan (yoki kalkulyatordan) foydalanib, siz javob olasiz: x = 2π / 3. Birlik doirasi boshqa javobni beradi: -2π / 3.
   • x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π.
   • Misol 3.tg (x - p / 4) = 0.
   • Javob: x = π / 4 + πn.
   • Misol 4. ctg 2x = 1.732.
   • Javob: x = π / 12 + πn.
3. 3 Trigonometrik tenglamalarni yechishda ishlatiladigan transformatsiyalar.
   • Trigonometrik tenglamalarni aylantirish uchun algebraik transformatsiyalar (faktorizatsiya, bir jinsli atamalarni qisqartirish va boshqalar) va trigonometrik identifikatsiyalar qo'llaniladi.
   • Misol 5. Trigonometrik identifikatorlar yordamida sin x + sin 2x + sin 3x = 0 tenglamasi 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0 tenglamaga aylanadi. Shunday qilib, siz quyidagi asosiy trigonometrik tenglamalarni yeching: cos x = 0; gunoh (3x / 2) = 0; cos (x / 2) = 0.
     
     
4. 4 Funktsiyalarning ma'lum qiymatlaridan burchaklarni topish.
   • Trigonometrik tenglamalarni echish usullarini o'rganishdan oldin siz funktsiyalarning ma'lum qiymatlaridan burchaklarni topishni o'rganishingiz kerak. Buni hisoblash jadvali yoki kalkulyator yordamida amalga oshirish mumkin.
   • Misol: cos x = 0.732. Kalkulyator x = 42.95 darajali javobni beradi. Birlik doirasi qo'shimcha burchaklar beradi, ularning kosinusi ham 0,732.
5. 5 Eritmani birlik doirasiga chetga surib qo'ying.
   • Siz birlik doiradagi trigonometrik tenglamaning echimlarini qoldirishingiz mumkin. Birlik doiradagi trigonometrik tenglamaning echimlari oddiy ko'pburchakning tepalari hisoblanadi.
   • Misol: Birlik doiradagi x = π / 3 + πn / 2 echimlar kvadratning tepalari.
   • Misol: birlik doiradagi x = π / 4 + πn / 3 yechimlari oddiy olti burchakli tepaliklarni ifodalaydi.
6. 6 Trigonometrik tenglamalarni yechish usullari.
   • Agar berilgan trigl tenglamada faqat bitta trigl funktsiyasi bo'lsa, bu tenglamani asosiy trigl tenglama sifatida eching.Agar berilgan tenglama ikki yoki undan ortiq trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga oladigan bo'lsa, unda bunday tenglamani echishning 2 usuli mavjud (uni o'zgartirish imkoniyatiga qarab).
     • 1 -usul.
   • Bu tenglamani quyidagi formadagi tenglamaga aylantiring: f (x) * g (x) * h (x) = 0, bu erda f (x), g (x), h (x) asosiy trigonometrik tenglamalardir.
     
     
   • Misol 6.2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2π)
   • Yechim. Sin 2x = 2 * sin x * cos x juft burchakli formuladan foydalanib, sin 2x ni almashtiring.
   • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Endi ikkita asosiy trigonometrik tenglamani yeching: cos x = 0 va (sin x + 1) = 0.
   • Misol 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2π)
   • Yechish: Trigonometrik identliklardan foydalanib, bu tenglamani quyidagi formadagi tenglamaga aylantiring: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Endi ikkita asosiy trigonometrik tenglamani eching: cos 2x = 0 va (2cos x + 1) = 0.
   • Misol 8.sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2π)
   • Yechish: Trigonometrik identifikatorlardan foydalanib, bu tenglamani quyidagi formadagi tenglamaga aylantiring: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Endi ikkita asosiy trigonometrik tenglamani eching: cos 2x = 0 va (2sin x + 1) = 0.
     • 2 -usul.
   • Berilgan trigonometrik tenglamani faqat bitta trigonometrik funktsiyani o'z ichiga olgan tenglamaga aylantiring. Keyin bu trigonometrik funktsiyani noma'lum, masalan, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x / 2) = t va boshqalar) bilan almashtiring.
   • Misol 9.3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2π).
   • Yechim. Bu tenglamada (cos ^ 2 x) o'rniga (1 - sin ^ 2 x) (identifikatsiya bo'yicha). O'zgartirilgan tenglama:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. sin x ni t bilan almashtiring. Endi tenglama quyidagicha ko'rinadi: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Bu ikkita ildizga ega bo'lgan kvadrat tenglama: t1 = -1 va t2 = 9/5. Ikkinchi t2 ildizi funksiyaning qiymatlar diapazonini qondirmaydi (-1 sin x 1). Endi qaror qiling: t = sin x = -1; x = 3π / 2.
   • Misol 10.tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
   • Yechim. Tg x ni t bilan almashtiring. Asl tenglamani quyidagicha qayta yozing: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Endi t ni toping va keyin t = tg x uchun x ni toping.
7. 7 Maxsus trigonometrik tenglamalar.
   • Maxsus transformatsiyalarni talab qiladigan bir nechta maxsus trigonometrik tenglamalar mavjud. Misollar:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. 8 Trigonometrik funktsiyalarning davriyligi.
   • Avval aytib o'tganimizdek, barcha trigonometrik funktsiyalar davriy, ya'ni ularning qiymatlari ma'lum davrdan keyin takrorlanadi. Misollar:
     • F (x) = sin x funksiyaning davri 2π.
     • F (x) = tan x funksiyaning davri π ga teng.
     • F (x) = sin 2x funktsiyasining davri π.
     • F (x) = cos (x / 2) funktsiyasining davri 4π.
   • Muammoda davr ko'rsatilgan bo'lsa, shu davr ichida "x" qiymatini hisoblang.
   • Eslatma: Trigonometrik tenglamalarni yechish oson ish emas va ko'pincha xatolarga olib keladi. Shuning uchun javoblaringizni diqqat bilan tekshiring. Buning uchun siz grafik kalkulyator yordamida berilgan R (x) = 0 tenglamani chizishingiz mumkin. Bunday hollarda echimlar kasrli kasrlar ko'rinishida ko'rsatiladi (ya'ni π 3.14 bilan almashtiriladi).