Tarkib

• Qadam bosish
• 3-qismning 1-qismi: Tahlil asoslari
• 3-qismning 2-qismi: hosilalarni tushunish
• 3 ning 3 qismi: integrallarni tushunib oling
• Maslahatlar

Tahlil (hisob-kitob deb ham yuritiladi) - bu matematikaning chegaralar, funktsiyalar, hosilalar, integrallar va cheksiz qatorlarga yo'naltirilgan bo'limi. Ushbu mavzu ko'plab matematikalarni o'z ichiga oladi va fizika va mexanikada qo'llaniladigan ko'plab formulalar va tenglamalar asosida yotadi. Ehtimol, tahlilni to'g'ri tushunish uchun siz o'rta maktabda bir necha yillik matematikadan o'tgan bo'lishingiz kerak bo'ladi, ammo ushbu maqola siz asosiy tushunchalarni tanib olishni va nazariyani yaxshiroq tushunishni o'rganishga kirishadi.

Qadam bosish

3-qismning 1-qismi: Tahlil asoslari

1. Tahlil - bu narsalarning qanday o'zgarishini o'rganadigan fan. Tahlil - bu matematikaning odatda haqiqiy ma'lumotlardan olingan raqamlar va grafiklarni tekshiradigan va ularning qanday o'zgarishini tushuntiradigan bo'limi. Avvaliga bu unchalik foydali ko'rinmasa ham, tahlil matematikaning eng ko'p ishlatiladigan sohalaridan biridir. Tasavvur qiling, sizning ishingiz istalgan vaqtda qanchalik tez o'sib borishini yoki kosmik kemaning harakatlanish jadvalini qanday tuzilishini va uning yoqilg'isi qanchalik tez ishlatilishini aytib beradigan vositalarga ega bo'ling. Tahlil muhandislik, iqtisodiyot, statistika, kimyo va fizikada muhim vosita bo'lib, ko'plab ixtiro va kashfiyotlarga hissa qo'shdi.
2. Funktsiyalar - bu ikki raqam o'rtasidagi munosabatlar va aloqalarni xaritalash uchun ishlatiladi. Ular raqamlar orasidagi bog'liqlik qoidalari bo'lib, matematiklar ulardan grafikalar tuzishda foydalanadilar. Funktsiyada har bir kirish bir xil natijaga ega. Masalan: ichida ${ displaystyle y = 2x + 4,}$Cheksizlik tushunchasi haqida o'ylab ko'ring. Cheksizlik - bu jarayonning doimiy takrorlanishi. Bu ma'lum bir joy emas (siz abadiylikka borolmaysiz), aksincha raqam yoki tenglamaning xatti-harakati, agar u abadiy bajarilsa. Bu o'zgarishni o'rganish uchun juda muhimdir: siz istalgan vaqtda mashinangiz qancha tez yurishini bilishni xohlashingiz mumkin, ammo hozirgi soniyada sizning mashinangiz qanchalik tez yuradimi? Milisaniyami? Nanosaniyami? Vaqtning cheksiz kichikroq qismlarini yanada aniqroq topishingiz mumkin, shunda tahlil keladi.
3. Limit tushunchasini tushunib oling. Chegara, biror narsa abadiylikka yaqinlashganda nima bo'lishini aytib beradi. 1 raqamini oling va uni 2 ga bo'ling. 2 ga qayta-qayta bo'lishni davom eting. 1 1/2 ga, so'ngra 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 va boshqalarga aylanadi. Har safar raqam kamayib, nolga "yaqinlashadi". Ammo bu qaerda to'xtaydi? Nolga erishish uchun necha marta 1 dan 2 gacha bo'lish kerak? Ushbu savolga javob berish o'rniga, tahlilda siz birini qo'ydingiz chegara Bunday holda, chegara hisoblanadi.
   • Chegaralarni grafada tasavvur qilish eng oson - masalan, grafik deyarli tegib turadigan, ammo hech qachon to'liq bo'lmagan nuqtalar bormi?
   • Cheklovlar raqamli, cheksiz yoki hatto mavjud bo'lishi mumkin. Masalan, 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... qo'shish ketma-ketligi bilan va bu cheksiz davom etadi, yakuniy son cheksiz katta bo'ladi. Keyin chegara cheksiz bo'ladi.
4. Algebra, trigonometriya va matematikaning asosiy matematik tushunchalarini ko'rib chiqing. Tahlil siz ilgari o'rgangan matematikaning ko'p qismiga asoslanadi. Barcha mavzular to'g'risida yaxshi ma'lumotga ega bo'lish tahlilni o'rganishni va tushunishni ancha osonlashtiradi. Yozib olish kerak bo'lgan ba'zi mavzular:
   • Algebra. Siz turli xil jarayonlarni tushunishingiz va ko'p o'zgaruvchiga ega bo'lgan tenglamalar va tenglamalar tizimini echishingiz kerak. To'plamlarning asoslarini tushunib oling. Grafik tuzishni mashq qiling.
   • Geometriya. Geometriya - shakllarni o'rganadigan fan. Siz uchburchaklar, to'rtburchaklar va doiralar, perimetr va maydon kabi narsalarni qanday hisoblash haqida asosiy ma'lumotlarga ega bo'lishingiz kerak. Burchaklar, chiziqlar va koordinatalarni tushuning
   • Trigonometriya. Trigonometriya - matematikaning doiralar va to'g'ri uchburchaklar xususiyatlari bilan shug'ullanadigan bo'limi. Trigonometrik identifikatorlar, grafikalar, funktsiyalar va teskari trigonometrik funktsiyalardan foydalanishni bilish.
5. Grafika kalkulyatorini sotib oling. Siz nima qilayotganingizni ko'rmasdan tahlilni tushunish oson emas. Grafika kalkulyatorlari qanday tenglamalar bilan ish olib borayotganingizni yaxshiroq tushunishingiz uchun funktsiyalarni ingl. Ko'pincha chegaralar ekranda ham ko'rsatiladi va hosilalar va funktsiyalar avtomatik ravishda hisoblab chiqiladi.
   • Bugungi kunda ko'plab smartfonlar va planshetlar grafik kalkulyatorini sotib olishni xohlamasangiz yoki sotib ololmasangiz, arzon, ammo samarali grafik dasturlarni taklif qilishadi.

3-qismning 2-qismi: hosilalarni tushunish

1. Tahlil "ma'lum bir daqiqada o'zgarishni" o'rganish uchun ishlatiladi. Nima uchun aniq bir vaqtda biron bir narsa o'zgarishini bilish tahlilning asosiy qismidir. Masalan, tahlil sizga nafaqat avtomobilning tezligini, balki ushbu tezlik har qanday vaqtda qancha o'zgarishini ham beradi. Bu tahlilni eng oddiy ishlatilishlaridan biri, ammo juda muhimdir. Oyga kosmik kemani olib o'tish tezligini aniqlashda bunday ma'lumotlar qanchalik muhimligini tasavvur qiling!
   • Vaqtning ma'lum bir vaqtidagi o'zgarishni aniqlash bor farqlash. Differentsiatsiya - bu tahlilning ikkita asosiy tarmog'idan birinchisi.
2. Ishlarning ma'lum bir vaqtda qanday o'zgarishini tushunish uchun lotin vositalaridan foydalaning. "Hosil" - bu o'quvchilarni tez-tez asabiylashtiradigan narsa uchun yaxshi so'z. Biroq, kontseptsiyani o'zi tushunish unchalik qiyin emas - bu shunchaki "narsa qanchalik tez o'zgarishini" anglatadi. Kundalik hayotda eng ko'p uchraydigan lotinlar tezlikka bog'liq. Biroq, siz odatda "tezlikni hosilasi" deb nomlamaysiz, aksincha "tezlashtirish".
   • Akseleratsiya - bu lotin - bu sizga biron bir narsaning qanchalik tezlashayotgani yoki sekinlashayotgani yoki uning tezligi qanday o'zgarayotganligini aytib beradi.
3. Bilingki, o'zgarish tezligi ikki nuqta orasidagi nishabga teng. Bu tahlilning eng muhim kashfiyotlaridan biridir. Ikki nuqta orasidagi o'zgarish tezligi shu ikki nuqta orasidagi chiziq qiyaligiga teng. Tenglama kabi oddiy chiziqni o'ylab ko'ring ${ displaystyle y = 3x.}$Egri chiziqlar qiyaligini aniqlash mumkinligini biling. To'g'ri chiziqning qiyaligini aniqlash nisbatan oson: qancha o'zgaradi ${ displaystyle y}$Agar siz o'zgarishlarni aniqroq hisoblashni istasangiz, ballar bir-biriga yaqinroq bo'lishiga ishonch hosil qiling. Ikki fikrni qanchalik yaqin tanlasangiz, javobingiz shunchalik aniq bo'ladi. Siz gazni bosganingizda mashinangiz qancha tezlashishini bilishni xohlaysizmi deylik. Siz uyingiz va supermarket o'rtasidagi tezlikning o'zgarishini o'lchashni xohlamaysiz, lekin gazni bosganingizdan boshlab tezlikning o'zgarishini. O'qishingiz ushbu soniyaga yaqinroq bo'lsa, o'zgarishlarni hisoblashingiz shunchalik aniq bo'ladi.
   • Masalan, olimlar ba'zi turlarni saqlab qolish uchun ularning tezda yo'q bo'lib ketishini tekshirmoqdalar. Ammo qishda yozdan ko'ra ko'proq hayvonlar nobud bo'ladi, shuning uchun yil davomida o'zgarish tezligini o'rganish foydasiz - o'zgarish tezligini kichikroq davrda, masalan, 1 iyuldan 1 avgustgacha aniqlash yaxshiroqdir.
4. "Bir zumda o'zgarish tezligini" aniqlash uchun cheksiz qisqa chiziqlardan foydalaning yoki lotinni toping. Bu erda tahlil tez-tez biroz chalkashib ketadi, ammo bu aslida ikkita oddiy fakt natijasidir. Avvalo, siz bilasizki, chiziqning qiyaligi bu chiziq qanchalik tez o'zgarishiga teng. Ikkinchidan, chiziq satrlari bir-biriga qanchalik yaqin bo'lsa, o'qish shunchalik aniq bo'lishini bilasiz. Ammo qiyalik ikki nuqta orasidagi bog'liqlik bo'lsa, berilgan nuqtada o'zgarish tezligini qanday topish mumkin? Javob: Siz bir-biringizga cheksiz yaqin bo'lgan ikkita nuqtani tanlaysiz.
   • 1 dan 2 ga bo'linib, 1/2, 1/4, 1/8 va boshqalarni olishda davom etadigan misolni ko'rib chiqing. Shunday qilib, oxir-oqibat siz nolga yaqinlashasiz va javob "deyarli nol". Ballar bir-biriga shunchalik yaqinki, ular "deyarli bir-biriga teng". Bu lotinlarning tabiati.
5. Turli xil hosilalarni qanday aniqlashni bilib oling. Tenglamaga qarab lotinni topishning bir necha xil texnik usullari mavjud, ammo ularning ko'plari mantiqiy ma'noga ega, agar siz yuqorida hosilalar asoslarini yodlab olgan bo'lsangiz. Barcha hosilalar "cheksiz kichik" chiziqning qiyaligini topish usulidir. Endi siz lotin nazariyasi haqida ko'proq bilasiz, ko'p ishlar javob topishda.
6. Istalgan vaqtda o'zgarish tezligini bashorat qilish uchun olingan tenglamalarni toping. Istalgan vaqtda o'zgarish tezligini aniqlash uchun hosiladan foydalanish foydalidir, ammo tahlilning go'zalligi shundaki, har qanday funktsiya uchun yangi model yaratishingiz mumkin. Ning hosilasi ${ displaystyle y = x ^ {2},}$Agar buni tushunish qiyin bo'lsa, derivativlarning hayotiy misollarini eslashga harakat qiling. Eng oddiy misol tezlikka asoslangan bo'lib, u biz har kuni uchratadigan turli xil hosilalarni o'z ichiga oladi. Esdan chiqarmang: lotin - bu narsa qanchalik tez o'zgarishini o'lchaydigan o'lchovdir. Oddiy tajriba haqida o'ylab ko'ring. Siz stol ustiga marmar tashlaysiz va u har safar qancha yurishini va qanchalik tezligini o'lchaysiz. Endi tasavvur qiling-a, prokat marmar grafadagi chiziq bo'ylab harakat qiladi - siz shu chiziqdagi istalgan vaqtda oniy o'zgarishlarni o'lchash uchun lotinlardan foydalanasiz.
   • Marmar qanchalik tez harakat qiladi? Harakatlanayotgan marmarning holati (yoki hosilasi) qanday tezlikda o'zgaradi? Ushbu lotinni "tezlik" deb ataymiz.
   • Marmarni nishab bo'ylab aylantiring va tezlik qanday o'zgarishini kuzating. Marmar tezligining o'zgarish tezligi yoki hosilasi qanday? Ushbu lotin biz "tezlashtirish" deb ataymiz.
   • Marmarni to'lqinli yo'l bo'ylab aylantiring, masalan, rollarda. Marmar pastga ag'darilganda qay darajada tezlikni oshiradi va marmar tepalikka qay darajada sekinlashadi? Marmar birinchi tepalikning yarmida bo'lganida qanchalik tez yuradi? Bu marmarning bir zumda o'zgarish tezligi yoki hosilasi, o'sha aniq bir nuqtada.

3 ning 3 qismi: integrallarni tushunib oling

1. Bilingki, murakkab maydonlarni va hajmlarni topish uchun tahlildan foydalanishingiz mumkin. Tahlil yordamida siz o'lchash qiyin bo'lgan murakkab shakllarni o'lchashingiz mumkin. Masalan, uzun, tartibsiz shakldagi ko'lda qancha suv borligini bilmoqchi bo'lgan muammoni ko'rib chiqing - har bir litr suvni alohida o'lchash yoki ko'l shaklini o'lchash uchun o'lchagichdan foydalanish mumkin emas. Tahlil yordamida siz ko'l qirralari qanday o'zgarib borayotganini o'rganishingiz va undan keyin uning tarkibida qancha suv borligini aniqlash uchun ushbu ma'lumotdan foydalanishingiz mumkin.
   • Geometrik modellarni yaratish va hajmlarni o'rganish birlashtirmoq. Integratsiyalashgan hisoblash tahlilning ikkinchi muhim sohasidir.
2. Bilingki, integratsiya - bu grafik ostidagi maydon. Integratsiya chiziq ostidagi bo'shliqni o'lchash uchun ishlatiladi, bu g'alati yoki tartibsiz shakllar maydonini aniqlashga imkon beradi. Tenglamani oling ${ displaystyle y = 4-x ^ {2},}$Bilingki, siz integratsiya qilish uchun maydonni tanlashingiz kerak. Siz shunchaki butun funktsiyani birlashtira olmaysiz. Masalan; misol uchun, ${ displaystyle y = x}$To'rtburchakning maydonini qanday hisoblash haqida o'ylab ko'ring. Masalan, sizda grafika ustida tekis chiziq bor, deylik ${ displaystyle y = 4.}$Bilingki, integral hisobda maydonning maydonini topish uchun juda ko'p kichik to'rtburchaklar birlashtiriladi. Agar egri chiziqni juda kattalashtirsangiz, u to'g'ri chiziq kabi ko'rinadi. Siz buni har kuni ko'rasiz - siz erning egriligini sezolmaysiz, chunki siz er yuziga juda yaqinsiz. Integratsiya egri chiziq ostida cheksiz sonli kichik to'rtburchaklar hosil qiladi, ular shunchaki kichkina bo'lib, ularni hisoblashga imkon beradi. Birgalikda qo'shilgan barcha to'rtburchaklar egri chiziq ostidagi maydonni tashkil qiladi.
   • Siz grafik ostida juda ko'p kichik segmentlarni qo'shasiz deylik va bu har bir segmentning kengligi deyarli nolga teng.
3. Integrallarni to'g'ri o'qish va yozishni biling. Integrallar 4 qismdan iborat. Odatiy integral quyidagicha ko'rinadi:
   
   ${ displaystyle int f (x) mathrm {d} x}$ Integrallarni topish haqida ko'proq bilib oling. Integratsiya turli shakllarda bo'ladi va har bir funktsiyani birlashtirish uchun siz juda ko'p turli xil formulalarni o'rganishingiz kerak. Biroq, ularning barchasi yuqorida ko'rsatilgan printsiplarga amal qilishadi: integratsiya - bu cheksiz ko'p narsalarning yig'indisi.
   • O'zgartirish bilan birlashtiring.
   • Aniq bo'lmagan integrallarni hisoblang.
   • Ulashish orqali birlashtiring.
4. Bilingki, integratsiya farqlanishning teskari tomoni va aksincha. Bu juda muhim ahamiyatga ega bo'lgan tahlil qoidasi bo'lib, unga o'z nomi berilgan: integral hisoblashning asosiy teoremasi.Integratsiya va differentsiatsiya bir-biri bilan chambarchas bog'liq bo'lganligi sababli, ikkalasining kombinatsiyasi yordamida qanday ma'lumotga ega bo'lishidan qat'iy nazar o'zgarish tezligi, tezlashishi, tezligi, joylashuvi, harakati va boshqalarni aniqlash mumkin.
   • Masalan, tezlikni hosilasi tezlanish ekanligini unutmang, shuning uchun tezlanishni topish uchun tezlikni ishlatishingiz mumkin. Ammo siz faqat biron bir narsaning tezlanishini bilsangiz (masalan, tortishish kuchi tufayli tushadigan narsalar), unda siz tezlikni tiklash uchun birlashishingiz mumkin!
5. Bilingki, integratsiya yordamida siz 3D-ob'ektlar hajmini ham boshqarishingiz mumkin. Yassi shaklni aylantirish - bu 3D qattiq jismlarni yaratish usullaridan biri. Stolda tanga aylanayotganini tasavvur qiling - tanga aylanayotganda qanday qilib shar shaklida bo'lishiga e'tibor bering. Ushbu kontseptsiya "aylanish hajmi" deb nomlanuvchi jarayonga muvofiq hajmni aniqlashga imkon beradi.
   • Bu har qanday qattiq jismning hajmini aniqlashga imkon beradi, faqat uni ifodalovchi funktsiyangiz bo'lsa. Masalan, siz ko'l tubini kuzatadigan funktsiyani yaratishingiz mumkin, so'ngra ko'lning hajmini yoki uning tarkibida qancha suv borligini aniqlash uchun foydalanishingiz mumkin.

Maslahatlar

• Amaliyot mukammal bo'ladi, shuning uchun darslikdagi mashqlarni bajaring, hatto o'qituvchingiz ham bermadi - va tushunchalarni yaxshiroq tushunishingiz uchun javoblaringizni tekshiring.
• Agar echim topa olmasangiz, o'qituvchingizdan so'rang.