Matritsalarni qanday ajratish mumkin

Tarkib

Qisqa xulosa
Qadamlar
3 -qismning 1 -qismi: matritsalarning bo'linishini tekshirish
3dan 2 qism: teskari matritsani topish
3dan 3 qism: matritsani ko'paytirish
Maslahatlar
Ogohlantirishlar
Qo'shimcha maqolalar

Agar siz ikkita matritsani ko'paytirishni bilsangiz, siz matritsalarni "bo'linishni" boshlashingiz mumkin. "Bo'linish" so'zi tirnoq ichiga olingan, chunki matritsalarni ajratish mumkin emas. Bo'linish operatsiyasi bitta matritsani ikkinchi matritsaga teskari bo'lgan matritsaga ko'paytirish operatsiyasi bilan almashtiriladi. Oddiylik uchun butun sonli misolni ko'rib chiqing: 10 ÷ 5. 5: 5 yoki / yoki o'zaro javobini toping.₅, keyin bo'linishni ko'paytirish bilan almashtiring: 10 x 5; bo'linish va ko'paytirish natijasi bir xil bo'ladi. Shuning uchun bo'linishni teskari matritsaga ko'paytirish bilan almashtirish mumkin deb ishoniladi. Odatda, bunday hisob -kitoblar chiziqli tenglamalar tizimini echishda ishlatiladi.

Qisqa xulosa

Siz matritsalarni ajratolmaysiz. Bo'linish o'rniga bitta matritsa ikkinchi matritsaning teskarisiga ko'paytiriladi. [A] ÷ [B] ikkita matritsaning "bo'linishi" quyidagicha yoziladi: [A] * [B] yoki [B] * [A].
Agar [B] matritsa kvadrat bo'lmasa yoki uning determinanti 0 bo'lsa, "aniq echim yo'q" deb yozing. Aks holda, [B] matritsaning determinantini toping va keyingi bosqichga o'ting.
Teskarisini toping: [B].
[A] * [B] yoki [B] * [A] ni topish uchun matritsalarni ko'paytiring. Shuni yodda tutingki, matritsalarni ko'paytirish tartibi yakuniy natijaga ta'sir qiladi (ya'ni natijalar turlicha bo'lishi mumkin).

Qadamlar

3 -qismning 1 -qismi: matritsalarning bo'linishini tekshirish

1 Matritsalarning "bo'linishi" ni tushuning. Aslida, matritsalarni bo'lish mumkin emas. "Bir matritsani boshqasiga bo'lish" kabi matematik operatsiya yo'q. Bo'linish bitta matritsani ikkinchi matritsaning teskarisiga ko'paytirish bilan almashtiriladi. Ya'ni [A] ÷ [B] yozuvi to'g'ri emas, shuning uchun u quyidagi yozuv bilan almashtiriladi: [A] * [B]. Skalyar qiymatlar holatida ikkala yozuv ham ekvivalent bo'lgani uchun nazariy jihatdan matritsalarning "bo'linishi" haqida gapirish mumkin, lekin to'g'ri terminologiyadan foydalanish yaxshidir.
- E'tibor bering, [A] * [B] va [B] * [A] har xil amallardir. Barcha mumkin bo'lgan echimlarni topish uchun ikkala operatsiyani ham bajarish kerak bo'lishi mumkin.
- Masalan, o'rniga ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} div { begin {pmatrix} 7 va 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ yozing ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 va 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} }$ .
  Siz hisoblashingiz kerak bo'lishi mumkin ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 va 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} * { begin {pmatrix} 13 va 26 39 & 13 end {pmatrix}} }$ boshqa natijaga erishish uchun.
2 Boshqa matritsani "bo'ladigan" matritsaning kvadrat ekanligiga ishonch hosil qiling. Matritsani teskari aylantirish uchun (matritsaning teskarisini toping) u kvadrat, ya'ni bir xil satr va ustunli bo'lishi kerak. Agar teskari matritsa teskari bo'lmasa, aniq echim bo'lmaydi.
- Shunga qaramay, bu erda matritsalar "bo'linmaydi". [A] * [B] operatsiyasida tasvirlangan shart [B] matritsasini bildiradi. Bizning misolimizda bu shart matritsaga tegishli ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 va 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$
- Teskari aylantirilishi mumkin bo'lgan matritsa degenerativ yoki muntazam deyiladi. Teskari o'girilmaydigan matritsa degenerativ yoki yakka deb nomlanadi.
3 Ikki matritsani ko'paytirish mumkinligini tekshiring. Ikki matritsani ko'paytirish uchun birinchi matritsadagi ustunlar soni ikkinchi matritsadagi qatorlar soniga teng bo'lishi kerak. Agar [A] * [B] yoki [B] * [A] yozuvida bu shart bajarilmasa, yechim yo'q.
- Masalan, [A] matritsaning o'lchami 4 x 3 va [B] matritsaning o'lchami 2 x 2 bo'lsa, yechim bo'lmaydi. Siz [A] * [B] ni ko'paytira olmaysiz, chunki 4 ≠ 2, va [B] * [A] ni ko'paytira olmaysiz, chunki 2 ≠ 3.
- E'tibor bering, teskari matritsa [B] har doim asl matritsa [B] bilan bir xil satr va ustunlarga ega. Ikki matritsani ko'paytirish mumkinligini tekshirish uchun teskari matritsani topish shart emas.
- Bizning misolimizda ikkala matritsaning o'lchami 2 x 2, shuning uchun ularni istalgan tartibda ko'paytirish mumkin.
4 2 × 2 matritsaning determinantini toping. Esda tuting: siz matritsani teskari aylantira olasiz, agar uning determinanti nol bo'lmasa (aks holda matritsani teskari aylantira olmaysiz). 2 x 2 matritsaning determinantini qanday topish mumkin:
- 2 x 2 matritsa: matritsaning determinanti ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$ miloddan avvalgi yiliga teng. Ya'ni, asosiy diagonal elementlarining mahsulotidan (yuqori chap va o'ng pastki burchaklar orqali o'tadi), boshqa diagonal elementlarining mahsulotlarini chiqarib oling (yuqori o'ng va pastki chap burchaklar orqali o'tadi).
- Masalan, matritsaning determinanti ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 va 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ tengdir (7) (3) - (4) (2) = 21 - 8 = 13. Determinant nolga teng emas, shuning uchun bu matritsani teskari burish mumkin.
5 Katta matritsaning determinantini toping. Agar matritsaning o'lchami 3 x 3 yoki undan ko'p bo'lsa, determinantni hisoblash biroz qiyinroq bo'ladi.
- 3 x 3 matritsa: har qanday elementni tanlang va undagi qator va ustunni kesib tashlang.Olingan 2 × 2 matritsaning determinantini toping va keyin uni tanlangan elementga ko'paytiring; maxsus jadvalda determinant belgisini ko'rsating. Siz tanlagan element bilan bir qatorda yoki ustunda joylashgan boshqa ikkita element uchun bu jarayonni takrorlang. Keyin olingan (uchta) aniqlovchining yig'indisini toping. 3 x 3 matritsaning determinantini qanday topish haqida ko'proq ma'lumot olish uchun ushbu maqolani o'qing.
- Katta matritsalar: bunday matritsalarning determinantini grafik kalkulyator yoki dasturiy ta'minot yordamida qidirish yaxshiroqdir. Usul 3 × 3 matritsaning determinantini topish uslubiga o'xshaydi, lekin uni qo'lda qo'llash ancha zerikarli. Masalan, 4 x 4 matritsaning determinantini topish uchun 3 ta 3 ta 4 ta matritsaning determinantlarini topish kerak.
6 Hisob -kitoblarni davom ettiring. Agar matritsa kvadrat bo'lmasa yoki uning determinanti nolga teng bo'lsa, "aniq echim yo'q" deb yozing, ya'ni hisoblash jarayoni yakunlandi. Agar matritsa kvadrat bo'lsa va nol bo'lmagan determinant bo'lsa, keyingi bo'limga o'ting.

3dan 2 qism: teskari matritsani topish

1 2 x 2 matritsaning asosiy diagonali elementlarini almashtiring. 2 × 2 matritsa berilgan bo'lsa, tez teskari usulni qo'llang. Birinchidan, yuqori chap element va pastki o'ng elementni almashtiring. Misol uchun:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 va 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$
- Eslatma: ko'p odamlar 3 x 3 (yoki undan katta) matritsani teskari aylantirish uchun kalkulyatorlardan foydalanadilar. Agar siz buni qo'lda qilishingiz kerak bo'lsa, ushbu bo'limning oxiriga o'ting.
2 Qolgan ikkita elementni almashtirmang, lekin ularning belgisini o'zgartiring. Ya'ni, yuqori o'ng elementni va pastki chap elementni -1 ga ko'paytiring:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
3 Determinantning o'zaro javobini toping. Bu matritsaning determinanti oldingi bo'limda topilgan, shuning uchun biz uni qayta hisoblamaymiz. Determinantning teskarisi quyidagicha yoziladi: 1 / (aniqlovchi):
- Bizning misolimizda determinant - 13. Teskari qiymat: ${ displaystyle { frac {1} {13}}}$ .
4 Olingan matritsani determinantning o'zaro teskarisiga ko'paytiring. Yangi matritsaning har bir elementini determinantning teskarisiga ko'paytiring. Yakuniy matritsa asl 2 x 2 matritsaga teskari bo'ladi:
- ${ displaystyle { frac {1} {13}} * { boshlash {pmatrix} 3 va -4 - 2 va 7 end {pmatrix}}}$
  = ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} va { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} va { frac {7 } {13}} oxiri {pmatrix}}}$
5 Hisob -kitoblarning to'g'riligini tekshiring. Buning uchun asl matritsani teskarisiga ko'paytirish kerak. Agar hisob -kitoblar to'g'ri bo'lsa, asl matritsaning teskari natijasi aniqlik matritsasini beradi: (1001){ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}... Agar test muvaffaqiyatli bo'lsa, keyingi bo'limga o'ting.
- Bizning misolimizda: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} va { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} va { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 va 4 2 & 3 end {pmatrix}} = { boshlanish {pmatrix} 1 va 0 0 va 1 end {pmatrix}}}$ .
- Matritsalarni ko'paytirish haqida ko'proq ma'lumot olish uchun ushbu maqolani o'qing.
- Eslatma: matritsani ko'paytirishning ishlashi komutativ emas, ya'ni matritsalarning tartibi muhim. Ammo asl matritsa uning teskarisiga ko'paytirilganda, har qanday tartib identifikator matritsasiga olib keladi.
6 3 x 3 matritsaning teskarisini toping (yoki kattaroq). Agar siz bu jarayon bilan allaqachon tanish bo'lsangiz, grafika kalkulyatori yoki maxsus dasturlardan foydalanish yaxshiroqdir. Agar teskari matritsani qo'lda topish kerak bo'lsa, jarayon quyida qisqacha tasvirlangan:
- Asl matritsaning o'ng tomonidagi identifikatsiya matritsasi I ga qo'shiling. Masalan, [B] → [B | Men]. Identifikatsiya matritsasi uchun asosiy diagonalning barcha elementlari 1 ga, qolgan barcha elementlar esa 0 ga teng.
- Matritsani soddalashtiring, shunda uning chap tomoni pog'onali bo'ladi; chap tomon identifikator matritsasiga aylanishi uchun soddalashtirishni davom ettiring.
- Soddalashtirilgandan so'ng matritsa quyidagi shaklga ega bo'ladi: [I | B]. Ya'ni, uning o'ng tomoni asl matritsaning teskarisidir.

3dan 3 qism: matritsani ko'paytirish

1 Mumkin bo'lgan ikkita ifodani yozing. Ikkita skalyarni ko'paytirish operatsiyasi komutativdir, ya'ni 2 x 6 = 6 x 2.Matritsani ko'paytirishda bunday emas, shuning uchun siz ikkita ifodani echishingiz kerak bo'ladi:
- x = [A] * [B] - tenglamaning yechimi x[B] = [A].
- x = [B] * [A] - [B] tenglamaning echimix = [A].
- Har bir matematik amalni tenglamaning har ikki tomonida bajaring. Agar [A] = [C] bo'lsa, [B] [A] C [C] [B] chunki [B] [A] ning chap tomonida, lekin [C] ning o'ng tomonida.
2 Yakuniy matritsaning hajmini aniqlang. Yakuniy matritsaning kattaligi ko'paytirilgan matritsalar hajmiga bog'liq. Yakuniy matritsadagi satrlar soni birinchi matritsadagi qatorlar soniga, oxirgi matritsadagi ustunlar soni esa ikkinchi matritsadagi ustunlar soniga teng.
- Bizning misolimizda ikkala matritsaning o'lchami ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}}}$ va ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} va { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} va { frac {7 } {13}} oxiri {pmatrix}}}$ 2 x 2, shuning uchun asl matritsaning o'lchami 2 x 2 bo'ladi.
- Keyinchalik murakkab misolni ko'rib chiqing: agar [A] matritsaning o'lchami bo'lsa 4 x 3, va [B] matritsaning o'lchami 3 x 3, keyin yakuniy matritsa [A] * [B] 4 x 3 bo'ladi.
3 Birinchi elementning qiymatini toping. Ushbu maqolani o'qing yoki quyidagi asosiy qadamlarni eslang:
- Oxirgi matritsa [A] [B] ning birinchi elementini (birinchi qator, birinchi ustun) topish uchun [A] matritsaning birinchi qatori elementlari va [B matritsaning birinchi ustuni elementlarining nuqta hosilasini hisoblang. ]. 2 x 2 matritsada nuqta mahsuloti quyidagicha hisoblanadi. ${ Displaystyle a_ {1,1} * b_ {1,1} + a_ {1,2} * b_ {2,1}}$ .
- Bizning misolimizda: ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} va { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} va { frac {7} {13}} end {pmatrix}}}$ ... Shunday qilib, yakuniy matritsaning birinchi elementi element bo'ladi:
  ${ displaystyle (13 * { frac {3} {13}}) + (26 * { frac {-2} {13}})}$
  ${ Displaystyle = 3 + -4}$
  ${ Displaystyle = -1}$
4 Oxirgi matritsaning har bir elementini topish uchun nuqta mahsulotlarini hisoblashni davom ettiring. Masalan, ikkinchi qatorda va birinchi ustunda joylashgan element [A] matritsaning ikkinchi qatori va [B] matritsaning birinchi ustunining nuqta hosilasiga teng. Qolgan narsalarni o'zingiz topishga harakat qiling. Siz quyidagi natijalarni olishingiz kerak:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} va { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} va { frac {7} {13}} end {pmatrix}} = { boshlanish {pmatrix} -1 va 10 7 va -5 end {pmatrix}}}$
- Agar sizga boshqa echim kerak bo'lsa: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} va { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} va { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { boshlash {pmatrix} 13 va 26 39 va 13 end {pmatrix}} = { boshlanish {pmatrix} -9 va 2 19 va 3 tugatish {pmatrix}}}$

Maslahatlar

Matritsani skalyarga bo'lish mumkin; Buning uchun matritsaning har bir elementi skalyarga bo'linadi.
- Masalan, agar matritsa ${ displaystyle { begin {pmatrix} 6 & 8 2 & 4 end {pmatrix}}}$ 2 ga bo'linib, siz matritsani olasiz ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 1 & 2 end {pmatrix}}}$

Ogohlantirishlar

Matritsali hisob -kitoblarga kelganda, kalkulyator har doim ham aniq natijalarni bermaydi. Misol uchun, agar kalkulyator bu element juda kichik son (masalan, 2E) deb da'vo qilsa, ehtimol bu qiymat nolga teng.