Tarkib

• Dastlabki ma'lumotlar
• Qadamlar
• 3dan 1 qism: Asosiysi
• 3 -qismning 2 -qismi: Laplas konvertatsiyasining xususiyatlari
• 3 -dan 3 -qism: Laplas transformatsiyasini ketma -ket kengaytirish orqali topish

Laplas konvertatsiyasi - bu doimiy koeffitsientli differentsial tenglamalarni yechish uchun ishlatiladigan ajralmas konvertatsiya. Ushbu o'zgartirish fizika va texnikada keng qo'llaniladi.

Tegishli jadvallardan foydalanish mumkin bo'lsa -da, agar kerak bo'lsa, buni o'zingiz qilishingiz uchun Laplas konvertatsiyasini tushunish foydali bo'ladi.

Dastlabki ma'lumotlar

• Funktsiya berilgan ${ Displaystyle f (t)}$uchun belgilangan ${ Displaystyle t geq 0.}$ Keyin Laplas konvertatsiyasi funktsiya ${ Displaystyle f (t)}$ har bir qiymatning navbatdagi funktsiyasi ${ Displaystyle s}$, unda integral birlashadi:
  • ${ Displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Laplas konvertatsiyasi t-mintaqasidan (vaqt shkalasi) s-mintaqasiga (transformatsiya hududi) vazifasini oladi, bu erda ${ Displaystyle F (lar)}$ murakkab o'zgaruvchining murakkab funktsiyasi hisoblanadi. Bu sizga funktsiyani osonroq echim topiladigan joyga ko'chirish imkonini beradi.
• Shubhasiz, Laplas konvertatsiyasi chiziqli operatordir, shuning uchun agar biz atamalar yig'indisi bilan ishlasak, har bir integralni alohida hisoblash mumkin.
  • ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Esda tutingki, Laplas konvertatsiyasi faqat integral yaqinlashganda ishlaydi. Agar funktsiya bo'lsa ${ Displaystyle f (t)}$ uzilishlar mavjud, noaniqlikni oldini olish uchun ehtiyot bo'lish va integratsiya chegaralarini to'g'ri belgilash kerak.

Qadamlar

3dan 1 qism: Asosiysi

1. 1 Funktsiyani Laplas konvertatsiyasi formulasiga almashtiring. Nazariy jihatdan, funksiyaning Laplas konvertatsiyasini hisoblash juda oson. Masalan, funktsiyani ko'rib chiqing ${ Displaystyle f (t) = e ^ {at}}$, qaerda ${ Displaystyle a}$ bilan murakkab doimiydir ${ Displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a).}$
   • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} mathrm {d} t}$
2. 2 Mavjud usullar yordamida integralni baholang. Bizning misolimizda, taxmin qilish juda oddiy va siz oddiy hisob -kitoblar orqali erishishingiz mumkin. Murakkab holatlarda murakkabroq usullar kerak bo'lishi mumkin, masalan, qismlar bo'yicha integratsiya yoki integral belgisi ostida farqlash. Cheklov sharti ${ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a)}$ degan ma'noni anglatadi, integral yaxlitlashadi, ya'ni uning qiymati 0 ga teng ${ Displaystyle t to infty.}$
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(as) t} mathrm {d } t & = { frac {e ^ {(as) t}} {as}} Bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} end {moslashtirilgan}}}$
   • E'tibor bering, bu bizga sinus va kosinus bilan Laplas konvertatsiyasining ikki turini beradi, chunki Eyler formulasi bo'yicha ${ Displaystyle e ^ {iat}}$... Bu holda, maxrajda biz olamiz ${ Displaystyle s-ia,}$ va faqat haqiqiy va xayoliy qismlarni aniqlash qoladi. Siz natijani to'g'ridan -to'g'ri baholashingiz mumkin, lekin bu biroz ko'proq vaqtni oladi.
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} { cos at } = operatorname {Re} left ({ frac {1} {s-ia}} o'ng) = { frac {s} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} { sin at } = operatorname {Im} left ({ frac {1} {s-ia}} o'ng) = { frac {a} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
3. 3 Quvvat funktsiyasining Laplas konvertatsiyasini ko'rib chiqing. Birinchidan, siz quvvat funktsiyasining o'zgarishini aniqlashingiz kerak, chunki chiziqli xususiyat sizga o'zgarishni topishga imkon beradi. hammasidan polinomlar. Formaning funktsiyasi ${ Displaystyle t ^ {n},}$ qayerda ${ Displaystyle n}$ - har qanday musbat tamsayı. Rekursiv qoidani aniqlash uchun qismlarga bo'linishi mumkin.
   • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { mathcal {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • Bu natija aniq ifodalanadi, lekin agar siz bir nechta qiymatlarni almashtirsangiz ${ Displaystyle n,}$ siz ma'lum bir naqshni o'rnatishingiz mumkin (buni o'zingiz bajarishga harakat qiling), bu sizga quyidagi natijani olish imkonini beradi:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {n!} {s ^ {n + 1}}}}$
   • Shuningdek, gamma funktsiyasidan foydalanib, Laplas kasr kuchlarining konvertatsiyasini aniqlash mumkin. Masalan, shu tarzda siz funktsiyani o'zgartirishni topishingiz mumkin ${ Displaystyle f (t) = { sqrt {t}}.}$
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac { Gamma (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2} } = { frac { Gamma (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { frac { sqrt { pi}} {2s { sqrt {s}}}}}$
   • Garchi kasr kuchga ega funktsiyalarda kesim bo'lishi kerak bo'lsa -da (har qanday murakkab sonlarni unutmang ${ Displaystyle z}$ va ${ Displaystyle alpha}$ sifatida yozilishi mumkin ${ Displaystyle z ^ { alpha}}$, chunki ${ displaystyle e ^ { alpha operatorname {Log} z}}$), ular har doim shunday bo'ladiki, kesmalar chap yarim tekislikda yotadi va shu bilan analitik muammolardan qochadi.

3 -qismning 2 -qismi: Laplas konvertatsiyasining xususiyatlari

1. 1 Laplas funktsiyasining ko'paytirilishini topamiz eat{ Displaystyle e ^ {at}}. Oldingi bo'limda olingan natijalar bizga Laplas konvertatsiyasining qiziqarli xususiyatlarini bilib olishga imkon berdi. Kosinus, sinus va ekspansional funktsiya kabi funktsiyalarning Laplas konvertatsiyasi kuch funktsiyasini o'zgartirishga qaraganda oddiyroq ko'rinadi. Tomonidan ko'paytirish ${ Displaystyle e ^ {at}}$ t mintaqasida mos keladi siljish s mintaqasida:
   • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} mathrm {d} t = F (sa)}$
   • Bu xususiyat darhol funktsiyalarni o'zgartirishni topishga imkon beradi ${ Displaystyle f (t) = e ^ {3t} sin 2t}$, integralni hisoblamasdan:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} sin 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2. 2 Laplas funktsiyasining ko'paytirilishini topamiz tn{ Displaystyle t ^ {n}}. Birinchidan, ko'paytirishni o'ylab ko'ring ${ Displaystyle t}$... Ta'rif bo'yicha, funktsiyani integral ostida ajratish va hayratlanarli darajada oddiy natijaga erishish mumkin:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { partial} { qisman s}} e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} end {aligned}}}$
   • Ushbu operatsiyani takrorlab, biz yakuniy natijani olamiz:
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac { mathrm {d} ^ {n} F} { mathrm {d} s ^ {n}}}}$
   • Garchi integratsiya va differentsiatsiya operatorlarini qayta tartibga solish ba'zi qo'shimcha asoslarni talab qilsa -da, biz bu erda ko'rsatmaymiz, faqat shuni ta'kidlaymizki, agar yakuniy natija mantiqiy bo'lsa, bu amal to'g'ri. O'zgaruvchilarni hisobga olish mumkin ${ Displaystyle s}$ va ${ Displaystyle t}$ bir -biriga bog'liq emas.
   • Ushbu qoidadan foydalanib, kabi funktsiyalarni o'zgartirishni topish oson ${ Displaystyle t ^ {2} cos 2t}$, qismlar bo'yicha qayta birlashmasdan:
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 Funktsiyaning Laplas konvertatsiyasini toping f(at){ Displaystyle f (at)}. Buni o'zgaruvchining ta'rifi yordamida o'zgaruvchini u bilan almashtirish orqali osonlikcha bajarish mumkin:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f (at) } & = int _ {0} ^ { infty} f (at) e ^ {- st} mathrm { d} t, u = at & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} mathrm {d } u & = { frac {1} {a}} F chap ({ frac {s} {a}} o'ng) ox {hizalangan}}}$
   • Yuqorida biz Laplas funktsiyalarining o'zgarishini topdik ${ Displaystyle sin da}$ va ${ Displaystyle cos at}$ to'g'ridan -to'g'ri eksponensial funktsiyadan. Agar siz haqiqiy va xayoliy qismlarni topsangiz, bu xususiyatdan foydalanib, xuddi shunday natijaga erishishingiz mumkin ${ Displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$.
4. 4 Derivativning Laplas konvertatsiyasini toping f′(t){ Displaystyle f ^ { prime} (t)}. Oldingi misollardan farqli o'laroq, bu holda majbur parcha -parcha integratsiya qilish:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f ^ { prime} (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f ^ { prime} (t ) e ^ {- st} mathrm {d} t, u = e ^ {- st}, mathrm {d} v = f ^ { prime} (t) mathrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} Big _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d } t & = sF (s) -f (0) end {aligned}}}$
   • Ikkinchi lotin ko'plab fizik muammolarda uchraganligi sababli, biz Laplas konvertatsiyasini ham topamiz:
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { prime prime} (t) } = s ^ {2} F (s) -sf (0) -f ^ { prime} (0) }$
   • Umumiy holda, n -tartibli lotinning Laplas konvertatsiyasi quyidagicha aniqlanadi (bu Laplas konvertatsiyasi yordamida differentsial tenglamalarni echishga imkon beradi):
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (s) - sum _ {k = 0} ^ {n -1} s ^ {nk-1} f ^ {(k)} (0)}$

3 -dan 3 -qism: Laplas transformatsiyasini ketma -ket kengaytirish orqali topish

1. 1 Keling, davriy funktsiya uchun Laplas konvertatsiyasini topaylik. Davriy funktsiya shartni qondiradi ${ Displaystyle f (t) = f (t + nT),}$ qayerda ${ Displaystyle T}$ funksiyaning davri hisoblanadi va ${ Displaystyle n}$ musbat butun son hisoblanadi. Davriy funktsiyalar signallarni qayta ishlash va elektrotexnika kabi ko'plab ilovalarda keng qo'llaniladi. Oddiy o'zgarishlardan foydalanib, biz quyidagi natijani olamiz:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} ^ {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t end { tekislangan}}}$
   • Ko'rib turganingizdek, davriy funktsiya bo'lsa, Laplas konvertatsiyasini bir davr davomida bajarish kifoya.
2. 2 Tabiiy logarifm uchun Laplas konvertatsiyasini bajaring. Bunda integral elementar funktsiyalar shaklida ifodalanishi mumkin emas. Gamma funktsiyasidan foydalanish va uning ketma -ket kengayishi tabiiy logarifma va uning darajalarini baholash imkonini beradi. Eyler-Maskeroni doimiyligining mavjudligi ${ Displaystyle gamma}$ Bu integralni baholash uchun ketma -ket kengayishni ishlatish kerakligini ko'rsatadi.
   • ${ Displaystyle { mathcal {L}} { ln t } = - { frac { gamma + ln s} {s}}}$
3. 3 Normallashmagan sinc funktsiyasining Laplas konvertatsiyasini ko'rib chiqing. Funktsiya ${ displaystyle operatorname {sinc} (t) = { frac { sin t} {t}}}$ signalni qayta ishlashda keng qo'llaniladi, differentsial tenglamalarda u birinchi turdagi va nol tartibdagi sferik Bessel funktsiyasiga teng. ${ Displaystyle j_ {0} (x).}$ Bu funksiyaning Laplas konvertatsiyasini ham standart usullar bilan hisoblash mumkin emas. Bunday holda, kuch funktsiyalari bo'lgan ketma -ket a'zolarning o'zgarishi amalga oshiriladi, shuning uchun ularning o'zgarishi ma'lum bir vaqt oralig'ida birlashadi.
   • Birinchidan, biz funktsiyaning kengayishini Teylor seriyasida yozamiz:
     • ${ Displaystyle { frac { sin t} {t}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n +1)!}}}$
   • Endi biz kuch -quvvat funktsiyasining Laplas konvertatsiyasidan foydalanamiz. Faktoriallar bekor qilinadi va natijada biz arktangens uchun Teylor kengayishini olamiz, ya'ni sinus uchun Teylor seriyasiga o'xshash, ammo faktoriallarsiz o'zgaruvchan qator:
     • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} left {{ frac { sin t} {t}} right } & = sum _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = tan ^ {- 1} { frac {1} {s}} end {aligned}}}$