Tarkib

• Qadamlar
• 3 -usul 1: doimiy tenglamasiz kubik tenglamani qanday yechish mumkin
• 3 -usul 2: Ko'paytirgichlar yordamida butun ildizlarni qanday topish mumkin
• 3 -usul 3: Diskriminant yordamida tenglamani qanday yechish mumkin

Kubik tenglamada eng yuqori ko'rsatkich 3 ga teng, bunday tenglamaning 3 ta ildizi (echimi) bor va u shaklga ega ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... Ba'zi kubik tenglamalarni yechish unchalik oson emas, lekin agar siz to'g'ri metodni qo'llasangiz (yaxshi nazariy ma'lumotga ega bo'lsangiz), siz hatto eng murakkab kubik tenglamaning ildizlarini ham topishingiz mumkin - buning uchun kvadrat tenglamani echish formulasidan foydalaning. butun ildizlar yoki diskriminantni hisoblang.

Qadamlar

3 -usul 1: doimiy tenglamasiz kubik tenglamani qanday yechish mumkin

1. 1 Kubik tenglamada bo'sh atama mavjudligini aniqlang d{ Displaystyle d}. Kubik tenglama shaklga ega ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... Tenglamani kub deb hisoblash uchun faqat atamani qo'yish kifoya ${ Displaystyle x ^ {3}}$ (ya'ni boshqa a'zolar umuman bo'lmasligi mumkin).
   • Agar tenglamada bo'sh muddat bo'lsa ${ Displaystyle d}$, boshqa usuldan foydalaning.
   • Agar tenglamada bo'lsa ${ Displaystyle a = 0}$, bu kubik emas.
2. 2 Qavslardan chiqarib oling x{ Displaystyle x}. Tenglamada bo'sh muddat yo'qligi sababli, tenglamadagi har bir atama o'zgaruvchini o'z ichiga oladi ${ Displaystyle x}$... Bu shuni anglatadiki, bitta ${ Displaystyle x}$ tenglamani soddalashtirish uchun qavs ichidan chiqarilishi mumkin. Shunday qilib, tenglama quyidagicha yoziladi: ${ Displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c)}$.
   • Masalan, kubik tenglama berilgan ${ Displaystyle 3x ^ {3} -2x ^ {2} + 14x = 0}$
   • Olib ketish ${ Displaystyle x}$ qavs va oling ${ Displaystyle x (3x ^ {2} -2x + 14) = 0}$
3. 3 Faktor (ikkita binomning hosilasi) kvadrat tenglama (iloji bo'lsa). Shaklning ko'plab kvadrat tenglamalari ${ Displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$ faktorizatsiya qilish mumkin. Agar biz chiqaradigan bo'lsak, bunday tenglama chiqadi ${ Displaystyle x}$ qavs tashqarisida. Bizning misolimizda:
   • Qavslardan chiqarib oling ${ Displaystyle x}$: ${ Displaystyle x (x ^ {2} + 5x-14) = 0}$
   • Kvadrat tenglamaning omili: ${ Displaystyle x (x + 7) (x-2) = 0}$
   • Har bir qutini tenglashtiring ${ Displaystyle 0}$... Bu tenglamaning ildizlari ${ Displaystyle x = 0, x = -7, x = 2}$.
4. 4 Maxsus formuladan foydalanib kvadrat tenglamani yeching. Agar kvadrat tenglamani faktorizatsiya qilib bo'lmaydigan bo'lsa, buni bajaring. Tenglamaning ikkita ildizini, koeffitsientlar qiymatlarini topish uchun ${ Displaystyle a}$, ${ Displaystyle b}$, ${ Displaystyle c}$ formulada almashtiring ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$.
   • Bizning misolimizda koeffitsientlar qiymatlarini almashtiring ${ Displaystyle a}$, ${ Displaystyle b}$, ${ Displaystyle c}$ (${ Displaystyle 3}$, ${ Displaystyle -2}$, ${ Displaystyle 14}$) formulada:

     ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$

     ${ displaystyle { frac {- (- 2) pm { sqrt {((-2) ^ {2} -4 (3) (14)}}} {2 (3)}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {4- (12) (14)}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {(4-168}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {-164}}} {6}}}$

   • Birinchi ildiz:

     ${ displaystyle { frac {2 + { sqrt {-164}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 + 12,8i} {6}}}$

   • Ikkinchi ildiz:

     ${ displaystyle { frac {2-12,8i} {6}}}$

5. 5 Kubik tenglamaga yechim sifatida nol va kvadrat ildizlardan foydalaning. Kvadrat tenglamalarning ikkita ildizi bor, kubiklari esa uchta. Siz allaqachon ikkita echimni topdingiz - bu kvadrat tenglamaning ildizlari. Agar siz "x" ni qavs tashqarisiga qo'ysangiz, uchinchi yechim bo'ladi ${ Displaystyle 0}$.
   • Qavslar ichidan "x" belgisini olsangiz, olasiz ${ Displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c) = 0}$, ya'ni ikkita omil: ${ Displaystyle x}$ va qavs ichida kvadrat tenglama. Agar bu omillardan biri bo'lsa ${ Displaystyle 0}$, butun tenglama ham tengdir ${ Displaystyle 0}$.
   • Shunday qilib, kvadrat tenglamaning ikkita ildizi kubik tenglamaning echimlari hisoblanadi. Uchinchi yechim ${ Displaystyle x = 0}$.

3 -usul 2: Ko'paytirgichlar yordamida butun ildizlarni qanday topish mumkin

1. 1 Kubik tenglamada bo'sh atama borligiga ishonch hosil qiling d{ Displaystyle d}. Agar shakl tenglamasida bo'lsa ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$ bepul a'zo bor ${ Displaystyle d}$ (nolga teng emas), qavs tashqarisida "x" qo'yish ishlamaydi. Bunday holda, ushbu bo'limda ko'rsatilgan usuldan foydalaning.
   • Masalan, kubik tenglama berilgan ${ Displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x = -6}$... Tenglamaning o'ng tomonida nolni olish uchun qo'shing ${ Displaystyle 6}$ tenglamaning har ikki tomoniga.
   • Tenglama chiqadi ${ displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x + 6 = 0}$... Kabi ${ Displaystyle d = 6}$, birinchi bo'limda tasvirlangan usuldan foydalanish mumkin emas.
2. 2 Koeffitsient omillarini yozing a{ Displaystyle a} va erkin a'zo d{ Displaystyle d}. Ya'ni, sonning omillarini toping ${ Displaystyle x ^ {3}}$ va tenglik belgisidan oldingi raqamlar. Shuni esda tutingki, sonning omillari bu sonni ko'paytirganda hosil qiladi.
   • Masalan, raqamni olish uchun 6, ko'paytirish kerak ${ Displaystyle 6 marta 1}$ va ${ Displaystyle 2 marta 3}$... Shunday qilib, raqamlar 1, 2, 3, 6 sonining omillari hisoblanadi 6.
   • Bizning tenglamamizda ${ Displaystyle a = 2}$ va ${ Displaystyle d = 6}$... Ko'paytirgichlar 2 bor 1 va 2... Ko'paytirgichlar 6 raqamlardir 1, 2, 3 va 6.
3. 3 Har bir omilni ajrating a{ Displaystyle a} har bir omil uchun d{ Displaystyle d}. Natijada siz juda ko'p kasr va bir nechta butun sonlarni olasiz; kub tenglamaning ildizlari butun sonlardan biri yoki butun sonlardan birining salbiy qiymati bo'ladi.
   • Bizning misolimizda omillarni ajrating ${ Displaystyle a}$ (1 va 2) omillar bo'yicha ${ Displaystyle d}$ (1, 2, 3 va 6). Siz olasiz: ${ Displaystyle 1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ Displaystyle 2}$ va ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$... Endi olingan kasrlar va sonlarning manfiy qiymatlarini ushbu ro'yxatga qo'shing: ${ Displaystyle 1}$, ${ Displaystyle -1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ Displaystyle - { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ Displaystyle - { frac {1} {6}}}$, ${ Displaystyle 2}$, ${ Displaystyle -2}$, ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$ va ${ displaystyle - { frac {2} {3}}}$... Kubik tenglamaning butun ildizlari bu ro'yxatdagi ba'zi raqamlardir.
4. 4 Butun sonlarni kubik tenglamaga ulang. Agar tenglik rost bo'lsa, almashtirilgan raqam tenglamaning ildizi hisoblanadi. Masalan, tenglamadagi o'rnini bosish ${ Displaystyle 1}$:
   • ${ displaystyle 2 (1) ^ {3} +9 (1) ^ {2} +13 (1) +6}$ = ${ Displaystyle 2 + 9 + 13 + 6}$ ≠ 0, ya'ni tenglik kuzatilmaydi. Bunday holda, keyingi raqamni ulang.
   • O'zgartirish ${ Displaystyle -1}$: ${ Displaystyle (-2) +9 +(- 13) +6}$ = 0. Shunday qilib, ${ Displaystyle -1}$ tenglamaning butun ildizi.
5. 5 Polinomlarni bo'linish usulidan foydalaning Horner sxemasitenglamaning ildizlarini tezroq topish. Agar siz raqamlarni qo'lda almashtirishni xohlamasangiz, buni qiling. Horner sxemasida butun sonlar tenglama koeffitsientlarining qiymatlariga bo'linadi ${ Displaystyle a}$, ${ Displaystyle b}$, ${ Displaystyle c}$ va ${ Displaystyle d}$... Agar raqamlar teng bo'linadigan bo'lsa (ya'ni qolganlari ${ Displaystyle 0}$), butun son tenglamaning ildizi hisoblanadi.
   • Hornerning sxemasi alohida maqolaga loyiq, lekin quyida bu sxema yordamida kubik tenglamamizning ildizlaridan birini hisoblash misoli keltirilgan:

     -1 | 2 9 13 6

     __| -2-7-6

     __| 2 7 6 0

   • Qolganlari shunday ${ Displaystyle 0}$, lekin ${ Displaystyle -1}$ tenglamaning ildizlaridan biridir.

3 -usul 3: Diskriminant yordamida tenglamani qanday yechish mumkin

1. 1 Tenglama koeffitsientlarining qiymatlarini yozing a{ Displaystyle a}, b{ Displaystyle b}, v{ Displaystyle c} va d{ Displaystyle d}. Kelajakda adashib qolmaslik uchun ko'rsatilgan koeffitsientlarning qiymatlarini oldindan yozib qo'yishingizni tavsiya qilamiz.
   • Masalan, tenglama berilgan ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x -1}$... Yozib oling ${ Displaystyle a = 1}$, ${ Displaystyle b = -3}$, ${ Displaystyle c = 3}$ va ${ Displaystyle d = -1}$... Eslatib o'tamiz, agar bundan oldin ${ Displaystyle x}$ raqam yo'q, tegishli koeffitsient hali ham mavjud va tengdir ${ Displaystyle 1}$.
2. 2 Maxsus formuladan foydalanib, nol diskriminantni hisoblang. Diskriminant yordamida kubik tenglamani yechish uchun siz bir qancha murakkab hisob -kitoblarni bajarishingiz kerak bo'ladi, lekin agar siz barcha amallarni to'g'ri bajargan bo'lsangiz, bu usul eng murakkab kubik tenglamalarni yechishda ajralmas bo'ladi. Birinchi hisoblash ${ displaystyle Delta _ {0}}$ (nol diskriminant) - bu bizga kerak bo'lgan birinchi qiymat; Buning uchun formuladagi mos qiymatlarni almashtiring ${ displaystyle Delta _ {0} = b ^ {2} -3ac}$.
   • Diskriminant - bu polinomning ildizlarini tavsiflovchi raqam (masalan, kvadrat tenglamaning diskriminanti formula bo'yicha hisoblanadi) ${ Displaystyle b ^ {2} -4ac}$).
   • Bizning tenglamamizda:

     ${ Displaystyle b ^ {2} -3ac}$

     ${ Displaystyle (-3) ^ {2} -3 (1) (3)}$

     ${ Displaystyle 9-3 (1) (3)}$

     ${ displaystyle 9-9 = 0 = Delta _ {0}}$

3. 3 Formuladan foydalanib birinchi diskriminantni hisoblang Δ1=2b3−9abv+27a2d{ displaystyle Delta _ {1} = 2b ^ {3} -9abc + 27a ^ {2} d}. Birinchi diskriminant ${ displaystyle Delta _ {1}}$ - bu ikkinchi muhim qiymat; uni hisoblash uchun tegishli qiymatlarni belgilangan formulaga ulang.
   • Bizning tenglamamizda:

     ${ displaystyle 2 (-3) ^ {3} -9 (1) (- 3) (3) +27 (1) ^ {2} (- 1)}$

     ${ Displaystyle 2 (-27) -9 (-9) +27 (-1)}$

     ${ Displaystyle -54 + 81-27}$

     ${ displaystyle 81-81 = 0 = Delta _ {1}}$

4. 4 Hisoblash:${ displaystyle Delta = ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div -27a ^ {2}}$... Ya'ni olingan qiymatlar orqali kubik tenglamaning diskriminantini toping ${ displaystyle Delta _ {0}}$ va ${ displaystyle Delta _ {1}}$... Agar kubik tenglamaning diskriminanti musbat bo'lsa, tenglamaning uchta ildizi bor; agar diskriminant nol bo'lsa, tenglamaning bir yoki ikkita ildizi bor; agar diskriminant manfiy bo'lsa, tenglamaning bitta ildizi bor.
   • Kubik tenglama har doim kamida bitta ildizga ega, chunki bu tenglama grafigi X o'qi bilan kamida bir nuqtada kesishadi.
   • Bizning tenglamamizda ${ displaystyle Delta _ {0}}$ va ${ displaystyle Delta _ {1}}$ tengdirlar ${ Displaystyle 0}$, shuning uchun siz osongina hisoblashingiz mumkin ${ Displaystyle Delta}$:

     ${ displaystyle ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div (-27a ^ {2})}$

     ${ Displaystyle ((0) ^ {2} -4 (0) ^ {3}) div (-27 (1) ^ {2})}$

     ${ Displaystyle 0-0 div 27}$

     ${ displaystyle 0 = Delta}$... Shunday qilib, bizning tenglamamiz bir yoki ikkita ildizga ega.

5. 5 Hisoblash:${ displaystyle C = ^ {3} { sqrt { chap ({ sqrt { Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}}} + Delta _ {1 } o'ng) div 2}}}$. ${ Displaystyle C}$ - bu topiladigan oxirgi muhim miqdor; bu tenglamaning ildizlarini hisoblashda yordam beradi. Belgilangan formulaga qiymatlarni almashtiring ${ displaystyle Delta _ {1}}$ va ${ displaystyle Delta _ {0}}$.
   • Bizning tenglamamizda:

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) + Delta _ {1}}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0 ^ {2} -4 (0) ^ {3}) + (0)}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0-0) +0}} div 2}}}$

     ${ Displaystyle 0 = C}$

6. 6 Tenglamaning uchta ildizini toping. Buni formula bilan bajaring ${ Displaystyle - (b + u ^ {n} C + Delta _ {0} div (u ^ {n} C)) div 3a}$, qaerda ${ displaystyle u = (- 1 + { sqrt {-3}}) div 2}$, lekin n ga teng 1, 2 yoki 3... Tegishli qiymatlarni ushbu formulaga almashtiring - natijada siz tenglamaning uchta ildizini olasiz.
   • Quyidagi formuladan foydalanib qiymatni hisoblang n = 1, 2 yoki 3va keyin javobni tekshiring. Agar javobingizni tekshirganda 0 bo'lsa, bu qiymat tenglamaning ildizi hisoblanadi.
   • Bizning misolimizda, o'rnini bosing 1 ichida ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x -1}$ va oling 0, ya'ni 1 tenglamaning ildizlaridan biridir.